2021　同志社大学　理工学部2月10日実施MathJax

2021-14861-0901

2021　同志社大学　理工学部2月10日実施

易□　並□　難□

(1)　正四面体 $ABCD$ の $1$ つの頂点にある動点 $P$ は， $1$ 秒後に他の $3$ つの頂点のいずれかに確率 $\frac{1}{3}$ で移動する． $n$ を自然数として，時刻 $0$ において頂点 $A$ にある動点 $P$ が， $n$ 秒後の時刻 $n$ において頂点 $A ，$ 頂点 $B$ にある確率をそれぞれ $s_{n} ，$ $t_{n}$ とする．このとき， $s_{2} = ア，$ $s_{3} = イ$ である． $s_{n + 1} ，$ $t_{n + 1}$ を $s_{n} ，$ $t_{n}$ で表すと，

$s_{n + 1} = t_{n} ，$ $t_{n + 1} = \frac{1}{3} s_{n} + ウ t_{n}$ $（ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$

となり，これらから $s_{n + 2} ，$ $s_{n + 1} ，$ $s_{n}$ の間の関係式

$s_{n + 2} - s_{n + 1}$ $= エ (s_{n + 1} - s_{n})$ $（ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$

が得られる．これを用いて $s_{n}$ を $n$ の式で表すと， $s_{n} = オ．$

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易□　並□　難□

【１】　次のに適する数または式を，解答用紙の同じ記号のついたの中に記入せよ．

(2)　 $c$ を実数の定数として，方程式(＊) $x^{4} + c x^{3} + c x^{2} + c x + 1 = 0$ を考える． $x = 0$ は解でないので， $t = x + \frac{1}{x}$ とおくと，方程式(＊)から $t$ の $2$ 次方程式 $t^{2} + c t + カ = 0$ が得られる．これを用いると，方程式(＊)の解がすべて虚数となるための必要十分条件は $キ < c < ク$ である． $c$ がこの条件を満たすとき，複素数平面上で，方程式(＊)の $4$ つの虚数解を表す $4$ つの点は原点を中心とする半径 $ケ$ の円上にある．これら $4$ つの点を頂点とする四角形が正方形になるとき， $c$ の値は $コ$ である．

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【２】　 $n$ を自然数とする．実数 $t$ 以下の最大の整数を $[t]$ で表す．関数 $f (x) = x \sin (x^{2})$ として，曲線 $y = f (x)$ を $C$ とする．次の問いに答えよ．

(1)　 $C$ 上の点 $(a, a \sin (a^{2}))$ における $C$ の接線の方程式を求めよ．

(2)　 $a > 0$ とする．(1)の接線が原点 $O$ を通るときの $a$ の値を小さい方から $a_{1} ，$ $a_{2} ，$ $a_{3} ，$ $\dots$ とする． $n = 1 ，$ $2 ，$ $3 ，$ $\dots$ のとき， $a_{n}$ を $n$ で表せ．また，点 $(a_{n}, a_{n} \sin ({a_{n}}^{2}))$ における $C$ の接線 $l_{n}$ の方程式を， $n$ が偶数と奇数のそれぞれの場合について求めよ．

(3)　(2)の $a_{n} ，$ $l_{n}$ に対して， $l_{n}$ と曲線 $y = f (x)$ $（ 0 ≦ x ≦ a_{n} ）$ で囲まれた $[\frac{n + 1}{2}]$ 個の部分の面積の和を $S_{n}$ とする． $n$ が偶数のとき，式 $S_{n + 1} - S_{n}$ の値を求めよ．

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【３】　 $n$ を自然数とし，実数 $x$ を $| x | < 1$ とする．関数 $f_{n} (x) = \frac{x^{2 n}}{1 - x^{2}}$ $（ n = 1 ，$ $2 ，$ $3 ，$ $\dots ），$ $g (x) = \frac{1}{1 - x^{2}}$ とし，初項 $1 ，$ 公比 $x^{2} ，$ 項数 $n$ の等比数列の和を $S_{n} (x)$ とする．次の問いに答えよ．

(1)　 $\frac{d}{dx} f_{n} (x)$ を求めよ．また，区間 $0 ≦ x ≦ \frac{1}{2}$ における $f_{n} (x)$ の最大値を $n$ で表せ．

(2)　 $T_{n} = \int_{0}^{\frac{1}{2}} f_{n} (x) dx$ とする．極限 $\lim_{n \to \infty} T_{n}$ を求めよ．

(3)　 $k$ を自然数とするとき，定積分 $\int_{0}^{\frac{1}{2}} x^{2 k} dx$ を $k$ で表せ．これを用いて，式 $\int_{0}^{\frac{1}{2}} S_{n + 1} (x) dx - \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{4^{k} (2 k + 1)}$ の値を求めよ．

(4)　 $S_{n} (x)$ を $f_{n} (x)$ と $g (x)$ を用いて表せ．また，定積分 $\int_{0}^{\frac{1}{2}} g (x) dx$ を求めよ．

(5)　極限 $\lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{4^{k} (2 k + 1)}$ を求めよ．

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【４】　座標平面上で，点 $A$ $(4, - 9)$ を中心とする半径 $9$ の円を $C$ とする．放物線 $y = x^{2}$ を $D$ とし， $D$ 上の点を $P$ $(t, t^{2})$ とする．次の問いに答えよ．

(1)　 $t = 4$ のときの放物線 $D$ 上の点を $P_{0}$ とする．ベクトル $\frac{\vec{A P_{0}}}{| \vec{A P_{0}} |}$ の成分を求めよ．次に，点 $Q$ が円 $C$ 上の点全体を動くとき， $2$ 点 $P_{0} ，$ $Q$ 間の距離が最大となるときの点 $Q$ の座標を求めよ．

(2)　点 $P$ が放物線 $D$ 上の点全体を動くとき，直線 $AP$ と $x$ 軸との交点の $x$ 座標の最大値と最小値を求めよ．

(3)　放物線 $D$ 上の点 $P$ に対して，点 $R$ が円 $C$ 上の点全体を動くとき， $2$ 点 $P ，$ $R$ 間の距離が最大となるときの点 $R$ の座標を $(x (t), y (t))$ とする．極限 $\lim_{t \to - \infty} x (t) ，$ $\lim_{t \to - \infty} y (t)$ をそれぞれ求めよ．

(4)　点 $P$ が放物線 $D$ 上の点全体を動くとき，(3)の $x (t)$ の最大値を求めよ．

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