2022　名古屋市立大　中期MathJax

【１】　四面体$\mathrm{OABC}$において，三角形$\mathrm{ABC}$は$1$辺の長さが$1$の正三角形であり，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=2$とする．また，点$\mathrm{C}$を通り平面$\mathrm{OAB}$に垂直な直線上に点$\mathrm{D}$があり，線分$\mathrm{CD}$の中点$\mathrm{H}$は平面$\mathrm{OAB}$に含まれるとする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおいて，次の問いに答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}$を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$で表せ．

(3)　直線$\mathrm{BH}$と直線$\mathrm{OA}$の交点を$\mathrm{P}$とする．線分$\mathrm{OP}$および線分$\mathrm{BP}$の長さを求めよ．

(4)　平面$\mathrm{BCP}$は直線$\mathrm{OA}$と垂直に交わることを示せ．

(5)　$\mathrm{A}$を頂点とする四角錐$\mathrm{ABCPD}$の体積を求めよ．

(編注）2015年九州工業大学前期工学部【１】を改変して活用

【２】　正六面体のさいころの各面に「$2\text{，}$$3\text{，}$$5\text{，}$$7\text{，}$$11\text{，}$$13\text{」}$の目が記されているものとする．このようなさいころを$1$回で同時に複数個投げ，右図に示したマスを，出た目の積の数だけコマが矢印の向きに進んでいくすごろくを考える．コマがちょうど$0$番のマスで停止したとき「上がり」となる．コマを進める過程で$0$番のマスを通過するときは，「上がり」とはならない．例えば，$18$番のマスにコマがあるとき，$3$個のさいころを投げて出た目が$(2,2,3)$であったとする．この場合，コマは$1$回で$2\times 2\times 3=12$マス進むことになり，途中$0$番のマスを通過して，最終的に$2$番のマスで停止する．次の問いに答えよ．

(1)　$3$個のさいころを用いる．$26$番のマスにコマがあった場合，$1$回で上がりとなる確率を求めよ．

(2)　$4$個のさいころを用いる．$14$番のマスにコマがあった場合，$1$回で上がりとなる確率を求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　座標平面において次の連立不等式

$\{\begin{array}{l}0\leqq x\leqq 2\pi \\ y\leqq x\\ y\geqq x|\sin x|\end{array}$

の表す領域を$D_1$とするとき，領域$D_1$の面積$S$を求めよ．

(2)　座標平面において$y=x\sin nx$で表される曲線を$C$とする．ただし$n$は正の整数である．$-\pi \leqq x\leqq \pi$において曲線$C$と$x$軸とで囲まれる領域を$D_2$とするとき，領域$D_2$を$x$軸の周りに$1$回転させてできる回転体の体積$V$を求めよ．