2022　上智大学　TEAP文系2月7日実施MathJax

【１】　$1$個のさいころを投げる試行を$2$回くり返し，$1$回目に出た目を$a\text{，}$$2$回目に出た目を$b$とする．$xy$平面上で直線

$l\text{：}{\displaystyle \frac{x}{a}}+{\displaystyle \frac{y}{b}}=1$

を考える．$l$と$x$軸の交点を$\mathrm{P}\text{，}$$l$と$y$軸の交点を$\mathrm{Q}\text{，}$原点を$\mathrm{O}$とし，三角形$\mathrm{OPQ}$の周および内部を$\mathrm{D}\text{，}$三角形$\mathrm{OPQ}$の面積を$S$とする．

(1)　$S$が整数になる確率は${\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}}}\text{，}$

$S$が$3$の整数倍になる確率は${\displaystyle \frac{\text{ウ}}{\text{エ}}}\text{，}$

$S$が$4$の整数倍になる確率は${\displaystyle \frac{\text{オ}}{\text{カ}}}$である．

(2)　点$(2,4)$が$D$に含まれる確率は${\displaystyle \frac{\text{キ}}{\text{ク}}}\text{，}$

点$(2,3)$が$D$に含まれる確率は${\displaystyle \frac{\text{ケ}}{\text{コ}}}$である．

(3)　円${(x-3)}^2+{(y-3)}^2=5$と$l$が共有点を持たない確率は${\displaystyle \frac{\text{サ}}{\text{シ}}}$である．

【２】　空間内に立方体$\mathrm{ABCD‐EFGH}$がある．

　辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$線分$\mathrm{CP}$の中点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)

$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}={\displaystyle \frac{\text{ス}}{\text{セ}}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+{\displaystyle \frac{\text{ソ}}{\text{タ}}}\overrightarrow{\mathrm{AD}}$

である．

(2)　線分$\mathrm{AG}$上の点$\mathrm{R}$を$\overrightarrow{\mathrm{QR}}\perp \overrightarrow{\mathrm{AG}}$となるようにとると

$\overrightarrow{\mathrm{AR}}={\displaystyle \frac{\text{チ}}{\text{ツ}}}\overrightarrow{\mathrm{AG}}$

である．

(3)　直線$\mathrm{QR}$が平面$\mathrm{EFGH}$と交わる点を$\mathrm{S}$とすると

$\overrightarrow{\mathrm{AS}}={\displaystyle \frac{\text{テ}}{\text{ト}}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+{\displaystyle \frac{\text{ナ}}{\text{ニ}}}\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\text{ヌ}\overrightarrow{\mathrm{AE}}$

である．

【３】　$a$を実数の定数として$3$次関数

$f(x)=9x^3-9x+a$

を考える．

(1)　$y=f(x)$のグラフと$x$軸の共有点が$2$つ以上あるような$a$の範囲は

$\text{ネ}\sqrt{\text{ノ}}\leqq a\leqq \text{ハ}\sqrt{\text{ヒ}}$

である．

(2)　$a=\text{ハ}\sqrt{\text{ヒ}}$のとき，方程式$f(x)=0$の最も小さい解は

${\displaystyle \frac{\text{フ}}{\text{ヘ}}}\sqrt{\text{ホ}}$

であり，$y=f(x)$のグラフと$x$軸の囲む図形の面積は${\displaystyle \frac{\text{マ}}{\text{ミ}}}$である．

【４】(1)　実数の数列$\{a_n\}$に関する以下の条件(P)を考える．

(P)$\text{「}n\geqq N$ならば$a_n\leqq 4\text{」}$が成り立つ自然数$N$が存在する

(ⅰ)　以下の選択肢から，(P)であるための必要十分条件をすべて選べ．

　正しい選択肢がない場合は，$\mathrm{z}$をマークせよ．

(ⅱ)　以下の選択肢から，(P)であるための必要条件ではあるが十分条件ではないものをすべて選べ．

　正しい選択肢がない場合は，$\mathrm{z}$をマークせよ．

(ⅲ)　以下の選択肢から，(P)の否定であるものをすべて選べ．

　正しい選択肢がない場合は，$\mathrm{z}$をマークせよ．

選択肢

(a)$\text{「}n>N$ならば$a_n\leqq 4\text{」}$が成り立つ自然数$N$が存在する

(b)$\text{「}n<N$ならば$a_n\leqq 4\text{」}$が成り立つ自然数$N$が存在する

(c)$\text{「}n\geqq N$ならば$a_n>4\text{」}$が成り立つ自然数$N$が存在する

(d)　$a_n>4$を満たす自然数$n$が無限個存在する

(e)　$a_n\leqq 4$を満たす自然数$n$が無限個存在する

(f)　$a_n>4$を満たす自然数$n$は存在しても有限個である

(g)　$a_n\leqq 4$を満たす自然数$n$は存在しても有限個である

【４】

(2)　$t>0$とし，$xy$平面上の直線

$l\text{：}y=-x+t$

と領域

$B\text{：}{x}^2+{(y-2)}^2\leqq {\displaystyle \frac{1}{4}}{t}^2$

を考える．$B$と$l$が$2$点以上で交わるとき，交わりとして得られる線分の長さは$t=\text{ム}$のときに最大値$\text{メ}\sqrt{\text{モ}}$をとる．

【４】

(3)　正の数の組$(x,y)$が

$\{\begin{array}{l}x\geqq 1\\ y\geqq 1\\ x^5{y}^4\geqq 100\\ x^2{y}^9\geqq 100\end{array}$

を満たすとき$z=xy$は$(x,y)=(a,b)$で最小値をとる．ここで

${\log }_{10}a={\displaystyle \frac{\text{ヤ}}{\text{ユ}}}\text{，}$${\log }_{10}b={\displaystyle \frac{\text{ヨ}}{\text{ワ}}}$

である．