2022　上智大学　TEAP理系2月7日実施MathJax

【１】(1)　$\cos 61\mathrm{°}$の近似値を求めたい．$y=\cos x$の$1$次の近似式を用いて計算し，小数第$3$位を四捨五入すると，$\cos 61\mathrm{°}\fallingdotseq 0.\text{ア}$を得る．ただし，$\pi =3.14\text{，}$$\sqrt{3}=1.73$として用いてよい．

【１】(2)　あるクラスの生徒は$12$人で，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の$3$つのグループに分かれている．$\mathrm{A}$グループは$3$人，$\mathrm{B}$グループは$4$人，$\mathrm{C}$グループは$5$人の生徒からなる．このクラスでテストを行なった．各人の点数は$0$以上$10$以下の整数である．

(ⅰ)　$\mathrm{A}$グループの生徒$3$人の点数の分散は$6$であり，そのうち$2$人の点数はそれぞれ$2$と$5$である．このとき，残りの$1$人の点数は$\text{イ}$である．

(ⅱ)　さらに，$\mathrm{B}$グループの生徒$4$人の点数の平均値は$2$であり，分散は$3$である．$\mathrm{C}$グループの生徒$5$人の点数の平均値は$5$であり，分散は$6$である．このとき，クラスの生徒$12$人の点数の平均値は$\text{ウ}$であり，分散は$\text{エ}$である．

【１】(3)　$a$を正の実数とする．実数からなる集合$X\text{，}$$Y$を次で定める．

$X=\{x|0<x<a\}\text{，}$$Y=\{y|3<y<5\}$

次のそれぞれの命題が成り立つための必要十分条件を，選択肢から1 つずつ選べ．

(ⅰ)　すべての$x\in X$とすべての$y\in Y$に対して$x<y$となる

(ⅱ)「すべての$x\in X$に対して$x<y\text{」}$となる$y\in Y$が存在する

(ⅲ)　すべての$x\in X$に対して$\text{「}x<y$となる$y\in Y$が存在する」

【２】　一辺の長さが$1$である立方体$\mathrm{OADB‐CFGE}$を考える．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおき，実数$s\text{，}$$t$に対し，点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$を

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(1-s)\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{b}+s\overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}+(1-t)\overrightarrow{c}$

を満たす点とする．

(1)　点$\mathrm{P}$は直線$\text{あ}$上にあり，点$\mathrm{Q}$は直線$\text{い}$上にある．ただし，$\text{あ}\text{，}$$\text{い}$には，立方体の頂点の中から，直線が通る$2$頂点をマークして答えよ．

(2)　直線$\text{あ}$と直線$\text{い}$とは$\text{う}\text{．}$

(3)　線分$\mathrm{PQ}$の長さは，$s=\text{え}\text{，}$$t=\text{お}$のとき最小値をとり，このとき，${\mathrm{PQ}}^2=\text{か}$である．

(4)　$s\text{，}$$t$が$0\leqq s\leqq 1\text{，}$$0\leqq t\leqq 1$の範囲を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$の中点$\mathrm{M}$の動く領域は$\text{き}$であり，その面積は${\displaystyle \frac{\sqrt{\text{オ}}}{\text{カ}}}$である．

(5)　$s\text{，}$$t$が$0\leqq s\leqq 1\text{，}$$0\leqq t\leqq 1$の範囲を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$が通過する領域の体積は${\displaystyle \frac{\text{キ}}{\text{ク}}}$である．

【３】　各頂点に$1$から$4$までの数が$1$つずつ書いてあり，振るとそれらの一つが等しい確率で得られる正四面体の形のさいころ$T$がある．これを用いて，$2$人のプレイヤ$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$が以下のようなゲームをする．それぞれの枠内に記したルールに従い，各プレイヤが$T$を$1$回以上振って，最後に出た数をそのプレイヤの得点とし，得点の多い方を勝ちとする．ここで，同点のときには常に$\mathrm{B}$の勝ちとする．また，振り直すかどうかは，両プレイヤとも自分が勝つ確率を最大にするように選択するとする．このとき，$\mathrm{A}$が勝つ確率$p$について答えよ．ただし，以下のそれぞれの場合について，$p$は$0$以上の整数$k\text{，}$$n$を用いて，$p={\displaystyle \frac{2k+1}{2^n}}$と表せるので，この$k\text{，}$$n$を答えよ．

(1)

　このとき$p$を表す$k\text{，}$$n$は，$k=\text{ケ}\text{，}$$n=\text{コ}$である．

(2)

　このとき$p$を表す$k\text{，}$$n$は，$k=\text{サ}\text{，}$$m=\text{シ}$である．

(3)

　このとき$p$を表す$k\text{，}$$n$は，$k=\text{ス}\text{，}$$n=\text{セ}$である．

(4)

　このとき$p$を表す$k\text{，}$$n$は，$k=\text{ソ}\text{，}$$n=\text{タ}$である．

(5)

　このとき$p$を表す$k\text{，}$$n$は，$k=\text{チ}\text{，}$$n=\text{ツ}$である．

【４】　座標平面において，原点を極とし，$x$軸の正の部分を始線とする極座標を考える．平面上を運動する点$\mathrm{P}$の極座標$(r,\theta )$が，時刻$t\geqq 0$の関数として，

$r=1+t\text{，}$$\theta =\log (1+t)$

で与えられるとする．時刻$t=0$に$\mathrm{P}$が出発してから初めて$y$軸上に到着するまでに$\mathrm{P}$が描く軌跡を$C$とする．

(1)　$t>0$において，$\mathrm{P}$が初めて$y$軸上に到着するときの$t$の値を求めよ．

(2)　$C$上の点の$x$座標の最大値を求めよ．

(3)　$C$の長さを求めよ．

(4)　$C$を座標平面上に図示せよ．

(5)　$C$と$x$軸と$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．