2022　上智大学　経済学部2月5日実施MathJax

【１】(1)　整式$P(x)$を$x^2+x-2$で割った余りが$2x+1$で，$P(x)$を$x^2-4x+3$で割った余りが$-x+\text{ア}$のとき，$P(x)$を$x^2-x-6$で割った余りは${\displaystyle \frac{\text{イ}}{\text{ウ}}}x+{\displaystyle \frac{\text{エ}}{\text{オ}}}$である．

【 １】(2)　$A={(\sqrt{3}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}-1}})}^{-1}\text{，}$$B=5^{{\log }_5\frac{3}{5}}\text{，}$$C={\log }_{3}1.5\text{，}$$D={\log }_2{\displaystyle \frac{4}{3}}$とするとき，$\text{あ}<\text{い}<\text{う}<\text{え}$である．$\text{あ}\text{〜}$$\text{え}$には，$A\text{〜}$$D$から正しいものをマークせよ．ただし，${\log }_{10}2=0.30\text{，}$${\log }_{10}3=0.47\text{，}$$\sqrt{3}=1.73$としてよい．

【１】(3)　$2$次関数

$f(x)=\text{カ}{x}^2+\text{キ}x+\text{ク}$

は次の(a)，(b)を満たす．

(a)　すべての実数$x$に対して，

$3{\displaystyle {\int }_0^x}f(t)\mathit{dt}+10{\displaystyle {\int }_{-1}^0}xf(t)\mathit{dt}$$=-2{\displaystyle {\int }_{-x}^0}f(t)\mathit{dt}+12{\displaystyle {\int }_0^1}{x}^{3}tf(t)\mathit{dt}$

(b)　${\displaystyle {\int }_0^2}f(t)\mathit{dt}=-20$

【１】(4)　自然数を$2$進法で表したときの$\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$数は並んだ数字の個数である．例えば，${10110}_{(2)}$の桁数は$5$である．自然数$n$を$2$進法で表したときの桁数と$10$進法で表したときの桁数の差を$F(n)$とする．$n$が$1000$以下のとき，$F(n)$の最大値は$\text{ケ}$であり，$F(n)=\text{ケ}$を満たす最小の$n$は$\text{コ}$である．

【２】　座標空間に$3$点$\mathrm{A}$$(0,0,2)\text{，}$$\mathrm{B}$$(\sqrt{3},1,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(-2,2\sqrt{3},-2)$をとる．

　原点$\mathrm{O}$から$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の定める平面に垂線$\mathrm{OH}$を下ろす．

(1)　$\mathrm{\angle BAC}=\theta$とすると，$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\text{サ}}{\text{シ}}}$であり，三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$\text{ス}\sqrt{\text{セ}}$である．

(2)　点$\mathrm{H}$の座標は

$({\displaystyle \frac{\text{ソ}}{\text{タ}}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{\text{チ}}}{\text{ツ}}},{\displaystyle \frac{\text{テ}}{\text{ト}}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{\text{ナ}}}{\text{ニ}}},{\displaystyle \frac{\text{ヌ}}{\text{ネ}}})$

であり，四面体$\mathrm{OABC}$の体積は${\displaystyle \frac{\text{ノ}}{\text{ハ}}}$である．

(3)　$\mathrm{H}$を中心とする球が$\mathrm{O}$を通るとき，その球が$yz$平面と交わってできる図形の面積を求めよ．解答は記述式解答欄に記入すること．

【３】　正方形の$2$本の対角線の交点を正方形の中心と呼ぶことにする．座標平面上の$4$点$\mathrm{A}$$(\sqrt{2},\sqrt{2})\text{，}$$\mathrm{B}$$(-\sqrt{2},\sqrt{2})\text{，}$$\mathrm{C}$$(-\sqrt{2}.-\sqrt{2})\text{，}$$\mathrm{D}$$(\sqrt{2}.-\sqrt{2})$を頂点とする正方形の中心$\mathrm{O}$を点${\mathrm{P}}_0$とし，以下の操作$\text{①}\text{〜}$$\text{④}$により点${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$${\mathrm{P}}_3\text{，}\cdots$を順に決定していく．

【操作】

$\text{①}$　${\mathrm{P}}_0$を通る水平な直線と${\mathrm{P}}_0$を通る垂直な直線により，正方形$\mathrm{ABCD}$を$4$つの正方形に分割し，右上の正方形を$S_{\mathrm{A}}\text{，}$左上の正方形を$S_{\mathrm{B}}\text{，}$左下の正方形を$S_{\mathrm{C}}\text{，}$右下の正方形を$S_{\mathrm{D}}$とする．

$\text{②}$　$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4$の番号をつけた$4$枚のカードを等しい確率で引き，$1$が出たら$S_{\mathrm{A}}\text{，}$$2$が出たら$S_{\mathrm{B}}\text{，}$$3$が出たら$S_{\mathrm{C}}\text{，}$$4$が出たら$S_{\mathrm{D}}$を選び，選ばれた正方形を$T_1$とし，その中心を${\mathrm{P}}_1$とする．

$\text{③}$　次に正方形$T_1$について，$\text{①}$と同様にして，$4$つの正方形に分割する．$\text{②}$と同様にして，カードを引き，$4$つの正方形のうち$1$つを選び$T_2$とし，その中心を${\mathrm{P}}_2$とする．

$\text{④}$　以下，同様の操作を続け${\mathrm{P}}_3\text{，}$${\mathrm{P}}_4\text{，}\cdots$を順に決定していく．

　例えば，カードを$2$回引き，$1$回目に$1$が出て，$2$回目に$4$が出たとすると${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2$は右の図のようになる．

(1)　自然数$n$に対して，$n$個の線分${\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2\text{，}\cdots \text{，}$${\mathrm{P}}_{n-1}{\mathrm{P}}_n$の長さの和は

$\text{ヒ}+\text{フ}{\left({\displaystyle \frac{\text{ヘ}}{\text{ホ}}}\right)}^n$

である．

(2)　カードを$3$回引いたとき，${\mathrm{P}}_3$が$y\geqq x$かつ$y\leqq 3x$の範囲にある確率は${\displaystyle \frac{\text{マ}}{\text{ミ}}}$である．

(3)　カードを$3$回引いたとき，${\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_3>1$となる確率は${\displaystyle \frac{\text{ム}}{\text{メ}}}$である．

(4)　カードを$4$回引いたとき，${\mathrm{P}}_4$の$x$座標が${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}}$以上${\displaystyle \frac{3\sqrt{2}}{4}}$以下となる確率は${\displaystyle \frac{\text{モ}}{\text{ヤ}}}$である．