2022　上智大学　理工学部2月7日実施MathJax

【１】(1)　$x\text{，}$$y$を実数とする．次の条件について考える．

$p$：$xy$が無理数である

$q$：$x\text{，}$$y$がともに無理数である．

$r$：$x\text{，}$$y$の少なくとも一方が無理数である

(ⅰ)　以下から真の命題をすべて選んでマークせよ．

• (a)　$p\Rightarrow q$
• (b)　$p\Rightarrow r$
• (c)　$q\Rightarrow p$
• (d)　$q\Rightarrow r$
• (e)　$r\Rightarrow p$
• (f)　$r\Rightarrow q$

(ⅱ)　$x\text{，}$$y$が命題$\text{「}p\Rightarrow q\text{」}$の反例であるための必要十分条件を，以下からすべて選んでマークせよ．

(a)$\text{「}xy$が無理数」かつ$\text{「}x\text{，}$$y$がともに有理数」である

(b)$\text{「}xy$が有理数」かつ$\text{「}x\text{，}$$y$がともに有理数」である

(c)$\text{「}xy$が有理数」かつ$\text{「}x$が有理数，または，$y$が有理数」である

(d)$\text{「}xy$が無理数」かつ$\text{「}x$が有理数，または，$y$が有理数」である

(e)$\text{「}xy$が無理数，かつ，$x$が有理数」または$\text{「}xy$が無理数，かつ，$y$が有理数」である

(f)$\text{「}xy$が有理数，かつ，$x$が有理数」または$\text{「}xy$が有理数，かつ，$y$が有理数」である

【１】(2)　${(1+x+x^2)}^{10}$の$x^{16}$の係数は$\text{ア}$である．

【１】(3)　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{2}{3}\pi }}x\sin 2x\mathit{dx}={\displaystyle \frac{\pi }{\text{イ}}}+{\displaystyle \frac{\text{ウ}}{\text{エ}}}\sqrt{\text{オ}}$である．

【２】　$t$を実数とする．次の条件(★)を満たす$\mathrm{▵ABC}$を考える．

(★)　$\mathrm{AC}=t\text{，}$$\mathrm{BC}=1$を満たし，$\mathrm{\angle BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とおくと，$\cos \mathrm{\angle DAC}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}$である

(1)　$\cos \mathrm{\angle BAC}={\displaystyle \frac{\text{カ}}{\text{キ}}}$である．

(2)　$t$の取りうる範囲を$t_1<t<t_2$とするとき，$t_1=\text{あ}\text{，}$$t_2=\text{い}$である．

(3)　辺$\mathrm{AB}$の長さを$t$の式で表すと，

$\mathrm{AB}={\displaystyle \frac{\text{ク}}{\text{ケ}}}t+\sqrt{1+{\displaystyle \frac{\text{コ}}{\text{サ}}}{t}^2}$

である．

(4)　$\mathrm{▵ABC}$の面積は，$t={\displaystyle \frac{\sqrt{\text{シ}}}{\text{ス}}}$で最大値${\displaystyle \frac{\sqrt{\text{セ}}}{\text{ソ}}}$をとる．

(5)　$t_1\text{，}$$t_2$を(2)で定めた値とする．

　$t_1<t<t_2$の範囲で，$xyz‐$座標空間内の平面$z=t$上に，条件(★)を満たす$\mathrm{▵ABC}$が，$\mathrm{B}$$(0,0,t)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,1,t)$を満たし，$\mathrm{A}$の$x$座標が正であるように置かれている．また，${\mathrm{B}}_1$$(0,0,t_1)\text{，}$${\mathrm{C}}_1$$(0,1,t_1)\text{，}$${\mathrm{B}}_2$$(0,0,t_2)\text{，}$${\mathrm{C}}_2$$(0,1,t_2)$とおく．

　$\mathrm{▵ABC}$を$t_1<t<t_2$の範囲で動かしたときに通過して出来る図形に線分${\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1\text{，}$線分${\mathrm{B}}_2{\mathrm{C}}_2$を付け加えた立体の体積は，

${\displaystyle \frac{\sqrt{\text{タ}}}{\text{チ}}}$

である．

【３】　複素数からなる数列$\{z_n\}$を，次の条件で定める．

$z_1=0\text{，}$$z_{n+1}=(1+i)z_n-i$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

正の整数$n$に対し，$z_n$に対応する複素数平面上の点を${\mathrm{A}}_n$とおく．

(1)　$z_2=\text{ツ}+\text{テ}i\text{，}$$z_3=\text{ト}+\text{ナ}i\text{，}$$z_4=\text{ニ}+\text{ヌ}i$である．

(2)　$r>0\text{，}$$0\leqq \theta <2\pi$を用いて，$1+i=r(\cos \theta +i\sin \theta )$のように$1+i$を極形式で表わすとき，

$r=\sqrt{\text{ネ}}\text{，}$$\theta ={\displaystyle \frac{\text{ノ}}{\text{ハ}}}\pi$

である．

(3)　すべての正の整数$n$に対する$\mathrm{▵}\mathrm{P}{\mathrm{A}}_n{\mathrm{A}}_{n+1}$が互いに相似になる点$\mathrm{P}$に対応する複素数は，$\text{ヒ}+\text{フ}i$である．

(4)　$\left|z_n\right|>1000$となる最小の$n$は$n=\text{ヘ}$である．

(5)　${\mathrm{A}}_{\mathrm{2022\; <mo>+</mo><mi>k</mi>}}$が実軸上にある最小の正の整数$k$は$k=\text{ホ}$である．

【４】　座標平面上に円$C\text{：}{x}^2+y^2=4$と点$\mathrm{P}$$(6,0)$がある．円$C$上を点$\mathrm{A}$$(2a,2b)$が動くとき，線分$\mathrm{AP}$の中点を$\mathrm{M}$とし，線分$\mathrm{AP}$の垂直二等分線を$l$とする．

(1)　点$\mathrm{M}$の軌跡の方程式を求め，その軌跡を図示せよ．

(2)　直線$l$の方程式を$a\text{，}$$b$を用いて表せ．

(3)　直線$l$が通過する領域を表す不等式を求め，その領域を図示せよ．