2022　上智大学　推薦理工学部MathJax

2022　上智大学　理工学部

推薦情報理工学科

易□　並□　難□

【１】　数列 ${a_{n}}$ を

$a_{1} = a_{2} = 1 ，$ $a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n}$ $（ n ≧ 1 ）$

と定める．

(1)　自然数 $n$ に対して

$a_{1} + a_{3} + \dots + a_{2 n - 1} = a_{2 n}$

であることを示せ．

(2)　自然数 $n$ に対して

$a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots + a_{n}^{2} = a_{n} a_{n + 1}$

であることを示せ．

(3)　自然数 $n$ に対して

${\begin{cases} a_{n}^{2} + a_{n + 1}^{2} = a_{2 n + 1} \\ a_{n} a_{n + 1} + a_{n + 1} a_{n + 2} = a_{2 n + 2} \end{cases}$

であることを示せ．

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【２】　自然数 $n$ と実数 $a_{0} ，$ $a_{1} ， \dots ，$ $a_{n - 1}$ に対して $n$ 次の整式

$P (x) = x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}$

を考える．

(1)　実数 $α$ が $P (α) = 0$ を満たすことは， $P (x)$ が $1$ 次式 $x - α$ で割り切れるための必要十分条件であることを示せ．

(2)　方程式 $P (x) = 0$ の相異なる実数解の個数は $n$ 以下であることを示せ．

(3)　複素数 $β$ が $P (x) = 0$ の解であるなら， $β$ と共役な複素数 $\overline{β}$ も $P (x) = 0$ の解であることを示せ．

(4)　 $n$ が奇数であるとき， $P (x) = 0$ は少なくとも $1$ つの実数解をもつことを示せ．