2022　東京理科大学　経営学部B方式2月2日実施MathJax

【１】　$2$つの袋$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$がある．袋$\mathrm{A}$の中には赤玉が$4$個，白玉が$4$個入っていて，袋$\mathrm{B}$の中には赤玉が$2$個，白玉が$6$個入っている．袋$\mathrm{A}$から$4$個の玉を取り出し，袋$\mathrm{B}$から$3$個の玉を取り出す．このとき，袋$\mathrm{A}$から取り出された$4$個の玉のうち赤玉の個数を$a$とし，袋$\mathrm{B}$から取り出された$3$個の玉のうち赤玉の個数を$b$とする．次の問いに答えなさい．

(1)　$a=2$かつ$b=2$となる確率を求めなさい．

(2)　$a+b=0$となる確率を求めなさい．

(3)　$a+b=1$となる確率を求めなさい．

(4)　$a\ne b$となる確率を求めなさい．

【２】　次の問いに答えなさい．

(1)　$2$つの関数$f(x)=6(x^2+1)\text{，}$$g(x)=x^3+11x$について考える．不等式$f(x)\geqq g(x)$を満たす実数$x$の範囲を求めなさい．

(2)　${\displaystyle \frac{6(n^2+1)}{n^3+11n}}$が自然数となるような自然数$n$をすべて求めなさい．

(3)　${\displaystyle \frac{6(n^2+1)}{n^3+11n}}+{\displaystyle \frac{1}{9k}}$が自然数となるような自然数$n\text{，}$$k$の組$(n,k)$をすべて求めなさい．

【３】　次の問いに答えなさい．

(1)　等式$x^4+x^3+x^2+x+1$$=(x^2+ax+1)(x^2+bx+1)$が$x$についての恒等式となるように，正の定数$a$と負の定数$b$の値を定めなさい．

(2)　複素数$z$を方程式$16z^4+8z^3+4z^2+2z+1=0$の解とする．$z$を極形式で表しなさい．ただし，$z$の偏角$\theta$の範囲は$0\leqq \theta <2\pi$とする．

(3)　上の結果を用いて，$\sin 144\mathrm{°}$の値を求めなさい．

【１】　文章中の$\text{ア}$から$\text{ケ}$に，それぞれの解答群から最も適切な選択肢を選んで解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，$\text{ア}$から$\text{ウ}$まで，$\text{エ}$から$\text{ケ}$までのそれぞれで，同じ選択肢を$2$回以上使うことができる．

　$U$を有限集合とし，$A\text{，}$$B\text{，}$$C$を$U$の部分集合とする．また，集合$A$の要素の個数を$n(A)$とする．

(1)　$n(A\cap C)\leqq n(B\cap C)$が成り立つことは，$A\subset B$が成り立つための$\text{ア}$

(2)　$A=B$が成り立つことは，$A\cup B=A\cap B$が成り立つための$\text{イ}$

(3)　$n(A)\leqq n(B)$が成り立つことは，${\displaystyle \frac{1}{2}}n(A)+2n(B)\geqq n(A\cap B)+n(A\cup B)$が成り立つための$\text{ウ}$

　以降，$n(A)=m_1\text{，}$$n(B)=m_2$とする．ただし，$m_1\text{，}$$m_2$は自然数，$m_1<m_2$とする．

(4)　$n(A\cap B)$がとり得る値の最小値は$\text{エ}$であり，最大値は$\text{オ}$である．

(5)　$n(A\cup B)$がとり得る値の最小値は$\text{カ}$であり，最大値は$\text{キ}$である．

(6)　$m_1\geqq 2$として，条件$n(A\cap B)\geqq 2$の下で，$n(A\cup B)$がとり得る値の最小値は$\text{ク}$であり，最大値は$\text{ケ}$である．

【２】　次の文章中の$\text{ア}$から$\text{コ}$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，$$は$1$$\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数，$$は$2$$\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数である．文章中の$\text{サ}$は解答群から最も適切な選択肢を選んで解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

　クラスの生徒$25$名を$\mathrm{A}$班$10$名と$\mathrm{B}$班$15$名に分けて数学のテストを実施した．$\mathrm{A}$班の点数の平均値は$\mathrm{B}$班の点数の平均値より$5$点低かった．そこで，採点基準を変えてクラス全員のテストを採点し直すと，$25$名全体の点数の分散は$24$であり，$\mathrm{A}$班の点数の平均値は$\mathrm{B}$班の点数の平均値に一致したが，$\mathrm{B}$班の点数の分散は$\mathrm{A}$班の点数の分散より$10$大きくなった．採点基準変更前のクラスの点数の平均値は変更後のクラスの点数の平均値より$1$点低く，$\mathrm{A}$班の採点基準変更前の点数の平均値は変更後の$\mathrm{A}$班の点数の平均値の半分であった．

(1)　採点基準変更後の$\mathrm{A}$班の点数の分散は$\text{ア}\text{イ}\text{，}$$\mathrm{B}$班の点数の分散は$\text{ウ}\text{エ}$である．

(2)　採点基準変更前の$\mathrm{A}$班の点数の平均値は$\text{オ}\text{，}$採点基準変更後のクラスの点数の平均値は$\text{カ}$である．

　採点基準変更前の点数を表す変量を$x\text{，}$採点基準変更後の点数を表す変量を$y$とし，$25$名の生徒に対する採点基準変更前後の点数の組を$(x_1,y_1)\text{，}$$(x_2,y_2)\text{，}\cdots \text{，}$$(x_{25},y_{25})$とする．

(3)　$25$名の生徒に対する変量$x\text{，}$$y$の共分散は，

${\displaystyle \frac{1}{\text{キ}\text{ク}}}(x_1{y}_1+x_2{y}_2$$+\cdots +x_{25}{y}_{25})-\text{ケ}\text{コ}$

である．

(4)　$x_1\text{，}$$x_2\text{，}\cdots \text{，}$$x_{25}$の平均値を$\bar{x}\text{，}$$y_1\text{，}$$y_2\text{，}\cdots \text{，}$$y_{25}$の平均値を$\bar{y}$とする．採点基準変更にあたっては，生徒$25$名すべてに対して以下の$2$個の条件を満たすことが望ましい．

$\mathrm{P}$：$x_i\leqq \bar{x}$であるすべての$i\in \{1,2,\cdots ,25\}$に対して$y_i\leqq \bar{y}$である．

$\mathrm{Q}$：$x_i>\bar{x}$であるすべての$i\in \{1,2,\cdots ,25\}$に対して$y_i>\bar{y}$である．

$(x_1,y_1)\text{，}$$(x_2,y_2)\text{，}\cdots \text{，}$$(x_{25},y_{25})$の共分散は負であった．このことから，$\text{サ}$

【３】　(1)から(3)までは解答用紙の３の解答欄に記入しなさい．(4)では，文章中の$\text{ア}$から$\text{カ}$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，$$は$1$$\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数，$$は$2$$\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数である．また，分数は既約分数として表しなさい．

(1)　関数$f(x)$を$f(x)=|x^2-4|$と定める．座標平面において，曲線$y=f(x)$上の点$(1,3)$における接線の方程式を$y=g(x)$とする．接点$(1,3)$を除く，曲線$y=f(x)$と直線$y=g(x)$の$2$つの交点の$x$座標を$\alpha$と$\beta$とする． $\alpha <\beta$として，次の定積分を求めなさい．

${\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }}\{g(x)-f(x)\}\mathit{dx}$

【３】　(1)から(3)までは解答用紙の３の解答欄に記入しなさい．(4)では，文章中の$\text{ア}$から$\text{カ}$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，$$は$1$$\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数，$$は$2$$\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数である．また，分数は既約分数として表しなさい．

(2)　$m\text{，}$$n$は自然数，$m<n$とする．$2$次方程式

$x^2-(6\sqrt{21m}+5\sqrt{6n})x+30\sqrt{126mn}=0$

の解はすべて整数であるとする．さらに，等式$(y-m)(y-n)=-2$を満たす$y$はすべて$100$以下の整数であるとする．このとき，$m$と$n$を求めなさい．

【３】　(1)から(3)までは解答用紙の３の解答欄に記入しなさい．(4)では，文章中の$\text{ア}$から$\text{カ}$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，$$は$1$$\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数，$$は$2$$\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数である．また，分数は既約分数として表しなさい．

(3)　ある学生が，最初に正の数のポイントをもらい，サイコロを$1$回だけ投げ，出た目の数だけ硬貨を投げるというゲームに参加する．硬貨を投げるたびに，表が出れば硬貨を投げた後のポイントは投げる前の${\displaystyle \frac{4}{3}}$倍となり，裏が出れば硬貨を投げた後のポイントは投げる前の${\displaystyle \frac{2}{3}}$倍になる．ゲーム終了時のポイントが最初に付与されたポイントの$2$倍以上になる確率を求めなさい．ただし，サイコロの目は$1$から$6$までであり，かつ各目が等しい確率で出るとし，硬貨の表と裏が出る確率はいずれも${\displaystyle \frac{1}{2}}$であるとする．

【３】　(1)から(3)までは解答用紙の３の解答欄に記入しなさい．(4)では，文章中の$\text{ア}$から$\text{カ}$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，$$は$1$$\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数，$$は$2$$\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数である．また，分数は既約分数として表しなさい．

(4)　平行四辺形$\mathrm{OAPB}$において，辺$\mathrm{OA}$と辺$\mathrm{BP}$の長さはともに$2\text{，}$辺$\mathrm{OB}$と辺$\mathrm{AP}$の長さはともに$3\text{，}$対角線$\mathrm{AB}$の長さは$4$である．点$\mathrm{P}$を中心とする円が三角形$\mathrm{OAB}$と共有点をもつとき，その円の半径の最小値は${\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}}}\sqrt{\text{ウ}\text{エ}}$であり，最大値は$\sqrt{\text{オ}\text{カ}}$である．