2022　東京理科大学　理工学部B方式2月3日実施MathJax

【１】　次の文章中の$\text{ア}$から$\text{マ}$までに当てはまる数字$0\text{〜}9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，分数は既約分数として表しなさい．なお，$\text{ア}$などは既出の$\text{ア}$などを表す．

(1)　$m$を実数とする．$x$についての$2$次方程式

$x^2-(m+3)x+m^2-9=0$

の$2$つの解を$\alpha \text{，}$$\beta$とする．$\alpha \text{，}$$\beta$が実数であるための必要十分条件は

$-\text{ア}\leqq m\leqq \text{イ}$

である．$m$が$-\text{ア}\leqq m\leqq \text{イ}$の範囲を動くときの

${\alpha }^3+{\beta }^3$

の最小値は$\text{ウ}\text{，}$最大値は$\text{エ}\text{オ}\text{カ}$である．

【１】　次の文章中の$\text{ア}$から$\text{マ}$までに当てはまる数字$0\text{〜}9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，分数は既約分数として表しなさい．なお，$\text{ア}$などは既出の$\text{ア}$などを表す．

(2)　角$\theta$に関する方程式

$\cos 4\theta =\cos \theta$$\text{（}0\leqq \theta \leqq \pi \text{）}$$\cdots \text{①}$

について考える．$\text{①}$を満たす$\theta$は小さいほうから順に

$\theta =0\text{，}$${\displaystyle \frac{\text{キ}}{\text{ク}}}\pi \text{，}$${\displaystyle \frac{\text{ケ}}{\text{コ}}}\pi \text{，}$${\displaystyle \frac{\text{サ}}{\text{シ}}}\pi$

の$4$つである．一方，$\theta$が$\text{①}$を満たすとき，$t=\cos \theta$とおくと$t$は

$\text{ス}{t}^4-\text{セ}{t}^2+\text{ソ}=t$$\cdots \text{②}$

を満たす．$t=1\text{，}$$\cos {\displaystyle \frac{\text{ケ}}{\text{コ}}}\pi$は$\text{②}$の解なので，$2$次方程式

$\text{タ}{t}^2+\text{チ}t-1=0$

は$\cos {\displaystyle \frac{\text{キ}}{\text{ク}}}\pi \text{，}$$\cos {\displaystyle \frac{\text{サ}}{\text{シ}}}\pi$を解にもつ．これより

$\cos {\displaystyle \frac{\text{キ}}{\text{ク}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{\text{ツ}}-\text{テ}}{\text{ト}}}$

$\cos {\displaystyle \frac{\text{サ}}{\text{シ}}}\pi ={\displaystyle \frac{\sqrt{\text{ツ}}+\text{テ}}{\text{ト}}}$

であることがわかる．

【１】　次の文章中の$\text{ア}$から$\text{マ}$までに当てはまる数字$0\text{〜}9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，分数は既約分数として表しなさい．なお，$\text{ア}$などは既出の$\text{ア}$などを表す．

(3)　座標平面上の$3$点$(2,3)\text{，}$$(-5,10)\text{，}$$(-2,1)$を通る円を$C_1$とする．このとき，

$C_1$の中心は$(-\text{ナ},\text{ニ})\text{，}$半径は$\text{ヌ}$

である．$C_1$と点$(2,3)$で外接し，$x$軸とも接している円を$C_2$とする．このとき，

$C_2$の中心は$({\displaystyle \frac{\text{ネ}}{\text{ノ}}},{\displaystyle \frac{\text{ハ}\text{ヒ}}{\text{フ}}})\text{，}$半径は${\displaystyle \frac{\text{ヘ}\text{ホ}}{\text{マ}}}$

である．

【２】　平面上に三角形$\mathrm{ABC}$と点$\mathrm{P}$があり，点$\mathrm{P}$は，ある正の定数$t$に対して

$3t\overrightarrow{\mathrm{AP}}+t^2\overrightarrow{\mathrm{BP}}+4\overrightarrow{\mathrm{CP}}=\overrightarrow{0}$

を満たすとする．$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}$とおく．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$を，$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=v\overrightarrow{b}+w\overrightarrow{c}$となる実数$v\text{，}$$w$を，$t$を用いて表せ．

(3)　直線$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=x\overrightarrow{b}+y\overrightarrow{c}$となる実数$x\text{，}$$y$を，$t$を用いて表せ．

　以下，三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$S_1\text{，}$三角形$\mathrm{PBC}$の面積を$S_2$とする．

(4)　${\displaystyle \frac{S_2}{S_1}}$を，$t$を用いて表せ．

(5)　$t$が正の実数全体を動くとき，${\displaystyle \frac{S_2}{S_1}}$が最大となる$t$の値を求めよ．

【３】　関数$f(x)$を次で定める．

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$$\text{（}x>0\text{）}$

座標平面上の曲線$y=f(x)$を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}$$(2,{\displaystyle \frac{1}{2}})$と，正の定数$t$に対して$y$軸上の点$\mathrm{A}$$(0,-t)$をとる．点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{P}$を通る直線を$l_1$とする．

(1)　直線$l_1$を表す方程式を，$t$を用いて表せ．

(2)　$C$上の点$\mathrm{P}$における$C$の法線と$y$軸の交点を$(0,-t_0)$とおく．$t_0$を求めよ．

　上の(2)で求めた$t_0$に対して$t<t_0$とする．点$\mathrm{P}$を通り，直線$l_1$に垂直な直線を$l_2$とする．$l_2$と$C$の交点のうち，点$\mathrm{P}$と異なる点を$\mathrm{Q}$とおく．

(3)　点$\mathrm{Q}$の座標を，$t$を用いて表せ．

　最後に，$t={\displaystyle \frac{3}{2}}$のときを考える．

(4)　点$\mathrm{Q}$を通る$C$の接線を$l_3$とする．このとき，$2$つの直線$l_1\text{，}$$l_3$および曲線$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．