2022　東京理科大学　理工学部B方式2月6日実施MathJax

【１】　次の文章中の$\text{ア}$から$\text{リ}$までに当てはまる数字$0\text{〜}$$9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，分数は既約分数として表しなさい．なお，$\text{サ}$などは既出の$\text{サ}$などを表す．

(1)　$n$を$0$以上の整数とする．

(a)　座標平面の点$(a,b)$で，$a$と$b$がともに$0$以上の整数で$a+b=n$を満たすものは$n＋\text{ア}$個ある．

(b)　座標空間の点$(a,b,c)$で，$a\text{，}$$b\text{，}$$c$がどれも$0$以上の整数で$a+b+c=n$を満たすものは${\displaystyle \frac{n^2+\text{イ}n+\text{ウ}}{\text{エ}}}$個ある．

(c)　座標空間の点$(a,b,c)$で，$a\text{，}$$b\text{，}$$c$がどれも$0$以上の整数で$a+b+2c=n$を満たすものは，

$n$が奇数のとき${\displaystyle \frac{n^2+\text{オ}n+\text{カ}}{\text{キ}}}$個あり，

$n$が偶数のとき${\displaystyle \frac{n^2+\text{ク}n+\text{ケ}}{\text{コ}}}$個ある．

【１】　次の文章中の$\text{ア}$から$\text{リ}$までに当てはまる数字$0\text{〜}$$9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，分数は既約分数として表しなさい．なお，$\text{サ}$などは既出の$\text{サ}$などを表す．

(2)　平行四辺形$\mathrm{OACB}$において，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおく．線分$\mathrm{AC}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$線分$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{E}$とし，直線$\mathrm{DE}$を$l$とおく．

　$l$と直線$\mathrm{OA}\text{，}$直線$\mathrm{OB}$との交点をそれぞれ$\mathrm{F}\text{，}$$\mathrm{G}$とおくと

$\overrightarrow{\mathrm{OF}}={\displaystyle \frac{\text{サ}}{\text{シ}}}\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OG}}={\displaystyle \frac{\text{ス}}{\text{セ}}}\overrightarrow{b}$

となるので，$l$上の点$\mathrm{P}$はある実数$t$に対し

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(1-t){\displaystyle \frac{\text{サ}}{\text{シ}}}\overrightarrow{a}+t{\displaystyle \frac{\text{ス}}{\text{セ}}}\overrightarrow{b}$

を満たす．

　以下，$t$は$0<t<1$の範囲を動くものとする．$l$上の点$\mathrm{P}$を通り，直線$\mathrm{OA}\text{，}$直線$\mathrm{OB}$と平行な直線をそれぞれ$m\text{，}$$n$とし，$n$と直線$\mathrm{OA}$の交点を$\mathrm{H}\text{，}$$m$と直線$\mathrm{OB}$の交点を$\mathrm{J}$とする．平行四辺形$\mathrm{OHPJ}$の面積が最大となるのは

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}={\displaystyle \frac{\text{ソ}}{\text{タ}\text{チ}}}\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{\text{ツ}}{\text{テ}}}\overrightarrow{b}$

のときで，そのときの平行四辺形$\mathrm{OHPJ}$の面積は平行四辺形$\mathrm{OACB}$の面積の${\displaystyle \frac{\text{ト}\text{ナ}}{\text{ニ}\text{ヌ}}}$倍である．

【１】　次の文章中の$\text{ア}$から$\text{リ}$までに当てはまる数字$0\text{〜}$$9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，分数は既約分数として表しなさい．なお，$\text{サ}$などは既出の$\text{サ}$などを表す．

(3)　以下で，$i$は虚数単位とする．

(a)　$-1+i$を極形式で表すと

$-1+i=\sqrt{\text{ネ}}(\cos {\displaystyle \frac{\text{ノ}}{\text{ハ}}}\pi +i\sin {\displaystyle \frac{\text{ノ}}{\text{ハ}}}\pi )$

である．ただし，$0\leqq {\displaystyle \frac{\text{ノ}}{\text{ハ}}}\pi <2\pi$とする．ド・モアブルの定理より，

${(-1+i)}^{14}=\text{ヒ}\text{フ}\text{へ}i$

となる．また，${(-1+i)}^n$が実数となる最小の自然数$n$は$\text{ホ}$である．

(b)　方程式$z^5=-1$を考える．絶対値の性質より$\left|z\right|=\text{マ}$である．したがって，$z$の極形式は$z=\cos \theta +i\sin \theta$$\text{（}0\leqq \theta <2\pi \text{）}$となる．ド・モアブルの定理より

$\cos \text{ミ}\theta =-1\text{，}$$\sin \text{ミ}\theta =0$

となり，$\theta$の値が$\text{ム}$通り定まる．それらのうち最小の値は${\displaystyle \frac{\pi }{\text{メ}}}\text{，}$最大の値は${\displaystyle \frac{\text{モ}}{\text{ヤ}}}\pi$である．

(c)　方程式$w^5+{(w+1)}^5=0$を解こう．$w=0$は解でないので，両辺を$w^5$で割って変形すれば

${(1+{\displaystyle \frac{\text{ユ}}{w}})}^5=-1$

となる．これより$\text{ム}$通りの$w$の値が求まる．これらの$w$の値のうち実数でないものは$\text{ヨ}$個で，それらはどれも実部が$-{\displaystyle \frac{\text{ラ}}{\text{リ}}}$になる．

【２】　数列$\{a_n\}$は

$a_1=7\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{5a_n+9}{a_n+5}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

を満たしているとする．

(1)　$a_2\text{，}$$a_3$を求め，既約分数で表せ．

(2)　$\alpha ={\displaystyle \frac{5\alpha +9}{\alpha +5}}$を満たす正の実数$\alpha$を求めよ．また，この$\alpha$を用いて，$b_n={\displaystyle \frac{a_n-\alpha }{a_n+\alpha }}$とおいたとき，$b_{n+1}$と$b_n$の関係式を求めよ．

(3)　数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(4)　数列$\{a_n\}$の一般項を求め，$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

(5)　$n\geqq 2$のとき，$a_n$を既約分数で表示したときの分母を$c_n$とおく．$c_n$を，$n$を用いて表せ．ただし，$c_n$は正の整数とする．

【３】　$a\text{，}$$b$を定数とし，$a>1$かつ$b>1$とする．関数$f(x)\text{，}$$g(x)$を

$f(x)=(a-x)b^x\text{，}$$g(x)=b^x$

と定義する．$f(x)$は$x=1$で極値をとるとする．$e$は自然対数の底を表すものとして以下の問いに答えよ．

(1)　$b$を，$a$を用いて表せ．

(2)　座標平面において，曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$の交点の座標を，$a$を用いて表せ．

(3)　座標平面において，曲線$y=f(x)\text{，}$曲線$y=g(x)$と$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を，$a$を用いて表せ．

(4)　(3)で求めた面積$S$が$9e-18$となるときの$a$の値を求め，そのときの$f(1)$の値を求めよ．