2022　東京理科大学　理学部B方式2月5日実施MathJax

【１】　次の(1)から(3)において，$$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートにマークせよ．ただし，$$は$2\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数を表すものとする．また，分数は既約分数（それ以上約分できない分数）の形に表すものとする．

(1)　座標空間内に$4$点$\mathrm{A}$$(1,0,1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(-1,0,1)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,1,-1)\text{，}$$\mathrm{D}$$(0,-1,-1)$をとる．点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{AB}$上を動き，点$\mathrm{Q}$が線分$\mathrm{CD}$上を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$上の点が通過し得る領域を$S$とする．このとき以下が成り立つ．

(a)　$S$の体積は${\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}}}$である．

(b)　$z$軸の周りに$S$を$1$回転させてできる立体の体積は${\displaystyle \frac{\text{ウ}}{\text{エ}}}\pi$である．

【１】　次の(1)から(3)において，$$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートにマークせよ．ただし，$$は$2\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数を表すものとする．また，分数は既約分数（それ以上約分できない分数）の形に表すものとする．

(2)(a)　座標平面上の点${\mathrm{B}}_1$$(-4,0)\text{，}$${\mathrm{B}}_2$$(4,0)$と円$C\text{：}{x}^2+y^2=9$に対して，点$\mathrm{P}$が$C$上を動くとき，線分$\mathrm{P}{\mathrm{B}}_1$と線分$\mathrm{P}{\mathrm{B}}_2$の長さの和$M$がとり得る値の範囲は

$\text{オ}\leqq M\leqq \text{カ}\text{キ}$

である．

【１】　次の(1)から(3)において，$$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートにマークせよ．ただし，$$は$2\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数を表すものとする．また，分数は既約分数（それ以上約分できない分数）の形に表すものとする．

(2)(b)　平面上のベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$が$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=4\text{，}$$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=3$を満たすとき，$\left|\overrightarrow{a}\right|+\left|\overrightarrow{b}\right|$のとり得る値の範囲は

$\text{ク}\leqq \left|\overrightarrow{a}\right|+\left|\overrightarrow{b}\right|\leqq \text{ケ}$

である．

【１】　次の(1)から(3)において，$$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートにマークせよ．ただし，$$は$2\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数を表すものとする．また，分数は既約分数（それ以上約分できない分数）の形に表すものとする．

(3)　数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$が以下の条件を満たしているとする．

$a_1=3\text{，}$$b_1=-1\text{，}$

$2a_{n+1}=5a_n+b_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{），}$

$2b_{n+1}=a_n+5b_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）．}$

このとき以下が成り立つ．

(a)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{a_k+b_k}}={\displaystyle \frac{\text{コ}}{\text{サ}}}$である．

(b)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{{a_k}^2-{b_k}^2}}={\displaystyle \frac{\text{シ}}{\text{ス}\text{セ}}}$である．

(c)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left\{{\displaystyle \frac{(a_1-b_1)(a_2-b_2)\cdots (a_n-b_n)}{(a_1+b_1)(a_2+b_2)\cdots (a_n+b_n)}}\right\}}^{\frac{1}{n^2}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{\text{ソ}}{\text{タ}}}}$である．

【２】　座標平面上に双曲線$B\text{：}{x}^2-y^2=1$と$C\text{：}{\displaystyle \frac{x^2}{2}}-{\displaystyle \frac{y^2}{3}}=1$をとり，連立不等式

$x^2-y^2\geqq 1\text{，}$${\displaystyle \frac{x^2}{2}}-{\displaystyle \frac{y^2}{3}}\leqq 1$

が表す領域を$S$とする．また，$B$の焦点を${\mathrm{B}}_1$$(b_1,0)\text{，}$${\mathrm{B}}_2$$(b_2,0)$$\text{（}{b}_1<b_2\text{），}$$C$の焦点を${\mathrm{C}}_1$$(c_1,0)\text{，}$${\mathrm{C}}_2$$(c_2,0)$$\text{（}{c}_1<c_2\text{）}$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)　$S$を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

(2)　$S$を$y$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

(3)　$b_1\text{，}$$b_2\text{，}$$c_1\text{，}$$c_2$の値を求めよ．

(4)　点$\mathrm{P}$が$S$上を動くとき，${\displaystyle \frac{|\mathrm{P}{\mathrm{C}}_1-\mathrm{P}{\mathrm{C}}_2|}{|\mathrm{P}{\mathrm{B}}_1-\mathrm{P}{\mathrm{B}}_2|}}$がとり得る値の最大値を求めよ．また，最大値を与える$\mathrm{P}$の座標も求めよ．ここで，$\mathrm{P}{\mathrm{B}}_1\text{，}$$\mathrm{P}{\mathrm{B}}_2\text{，}$$\mathrm{P}{\mathrm{C}}_1\text{，}$$\mathrm{P}{\mathrm{C}}_2$はそれぞれの線分の長さを表す．

【３】　$f(x)=e^{-{\sin }^{2}x}\sin 2x$に対して以下の問いに答えよ．

(1)　$-\pi \leqq x\leqq \pi$の範囲で$f(x)=0$を満たす$x$の値をすべて求めよ．

(2)　$f(x)$の導関数を$f^{\prime }(x)$とする．$t=\sin x$として$e^{{\sin }^{2}x}{f}^{\prime }(x)$を$t$の多項式で表せ．

(3)　座標平面において，連立不等式

$-\pi \leqq x\leqq \pi \text{，}$$f(x)\leqq y\leqq 0$

の表す領域の面積を求めよ．

(4)　座標平面において，連立不等式

$-\pi \leqq x\leqq \pi \text{，}$$0\leqq y\leqq f(x)$

の表す領域の面積を求めよ．

(5)　$x$が$-\pi \leqq x\leqq \pi$の範囲を動くときの$f(x)$の最大値を$\alpha \text{，}$最小値を$\beta$とおく．

(a)　$\beta$を，$\alpha$を用いて表せ．

(b)　座標平面の$-\pi \leqq x\leqq \pi$の範囲において，直線$y=\alpha$と曲線$y=f(x)$で囲まれた領域の面積を$\alpha$を用いて表せ．

(c)　座標平面の$-\pi \leqq x\leqq \pi$の範囲において，直線$y=\beta$と曲線$y=f(x)$で囲まれた領域の面積を$\beta$を用いて表せ．