2022　東京理科大学　理学部B方式2月8日実施MathJax

【１】　次の$\text{ア}$から$\text{ラ}$において，$$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートにマークせよ．ただし，$$は$1$$\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数，$$は$2$桁の数を表すものとする．値が根号を含む場合は，根号の中にあらわれる自然数が最小になる形で表すこと．また，分数は既約分数（それ以上約分できない分数）の形で表すこと．$\text{あ}\text{，}$$\text{い}$には，$+$または$-$のうちあてはまるものをマークせよ．

(1)　$a$を$4^a+4^{-a}=11$を満たす正の実数とする．

(a)　$2^a+2^{-a}=\sqrt{\text{ア}\text{イ}}$であり，$2^a-2^{-a}=\text{ウ}$である．

(b)　$8^a+8^{-a}=\text{エ}\text{オ}\sqrt{\text{カ}\text{キ}}$である．

(c)　無限級数

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{2}^{-na}$

の和は${\displaystyle \frac{\text{ク}}{\text{ケ}}}(\sqrt{\text{コ}\text{サ}}-\text{シ})$である．

【１】　次の$\text{ア}$から$\text{ラ}$において，$$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートにマークせよ．ただし，$$は$1$$\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数，$$は$2$桁の数を表すものとする．値が根号を含む場合は，根号の中にあらわれる自然数が最小になる形で表すこと．また，分数は既約分数（それ以上約分できない分数）の形で表すこと．$\text{あ}\text{，}$$\text{い}$には，$+$または$-$のうちあてはまるものをマークせよ．

(2)(a)　$\theta$を一般角とし，$\sin ({\displaystyle \frac{5}{2}}\theta )=\sin ({\displaystyle \frac{1}{2}}\theta +2\theta )$に対し，正弦の加法定理，正弦と余弦の$2$倍角の公式および余弦の半角の公式を用いると

$\sin ({\displaystyle \frac{5}{2}}\theta )=\sin ({\displaystyle \frac{1}{2}}\theta )(\text{ス}{\cos }^2\theta +\text{セ}\cos \theta -\text{ソ})$

である．

(b)　$\alpha =\cos ({\displaystyle \frac{2}{5}}\pi )$とすると，(a)の結果から

$\text{タ}{\alpha }^2+\text{チ}\alpha -\text{ツ}=0$

を得る．ただし，$\text{タ}\text{，}$$\text{チ}\text{，}$$\text{ツ}$の最大公約数は$1$である．

(c)　平面上に$1$辺の長さが$1$の正五角形$\mathrm{ABCDE}$がある．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$の内積は

$\text{あ}{\displaystyle \frac{\text{テ}}{\text{ト}}}\sqrt{\text{ナ}}\text{い}{\displaystyle \frac{\text{ニ}}{\text{ヌ}}}$

である．

【１】　次の$\text{ア}$から$\text{ラ}$において，$$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートにマークせよ．ただし，$$は$1$$\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数，$$は$2$桁の数を表すものとする．値が根号を含む場合は，根号の中にあらわれる自然数が最小になる形で表すこと．また，分数は既約分数（それ以上約分できない分数）の形で表すこと．$\text{あ}\text{，}$$\text{い}$には，$+$または$-$のうちあてはまるものをマークせよ．

(3)　座標平面において，原点を中心とする半径$2$の円を$C_1\text{，}$$C_1$と点$(2,0)$において外接する半径$1$の円を$C_2\text{，}$$C_1$および$C_2$に外接する半径$1$の円で中心の$y$座標が正であるものを$C_3$とする．

(a)　$C_2$と$C_3$の接点および原点を通る直線の傾きは${\displaystyle \frac{\text{ネ}}{\text{ノ}}}\sqrt{\text{ハ}}$であり，原点と$C_3$の中心を通る直線の傾きは${\displaystyle \frac{\text{ヒ}}{\text{フ}}}\sqrt{\text{ヘ}}$である．

(b)　$C_1$と$C_3$に外接する半径$1$の円で$C_2$と異なるものを$C_4$とし，$C_3$と$C_4$に外接する半径$2$の円で$C_1$と異なるものを$C_5$とする．このとき，原点と$C_4$の中心を通る直線の傾きは${\displaystyle \frac{\text{ホ}\text{マ}}{\text{ミ}\text{ム}}}\sqrt{\text{メ}}$であり，原点と$C_5$の中心を通る直線の傾きは${\displaystyle \frac{\text{モ}\text{ヤ}}{\text{ユ}\text{ヨ}}}\sqrt{\text{ラ}}$である．

【２】　座標平面において，$x$座標の$2$乗に$y$座標の絶対値を加えたものが$1$以下であるような点全体で表される図形を$D$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$D$を図示せよ．

(2)　$D$の面積を求めよ．

(3)　$a$を$0<a<1$を満たす実数とする．放物線$y=x^2-1+2a$により，$D$は$2$つの部分に分けられる．そのうち点$(0,1)$を含む方を$D_1$とし，もう一方を$D_2$とする．

(a)　$D_1$の面積と$D_2$の面積が等しくなるときの$a$の値を求めよ．

(b)　$D_1$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積と$D_2$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積が等しくなるときの$a$の値を求めよ．

【３】　$n$を$3$以上の整数とし，$a$を定数とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$x$の整式$x^7+x^6+x^5+\cdots +x+1$を$x+2$で割った余りを求めよ．

(2)　$y=x+a$とおく．$x^5$を$y$の整式として表せ．ただし，答は$y$について降べきの順で表すこと．

(3)　$x$の整式$x^n$を${(x+a)}^2$で割った余りを求めよ．

(4)　$x$の整式$x^n$を${(x+a)}^{n-1}$で割った余りの定数項を求めよ．