2022　東京理科大学　理学部数学科2月8日実施MathJax

【１】　$t$を$\mathrm{}\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たす実数とする．$3$つの関数$f_t(x)\text{，}$$g_t(x)\text{，}$$h_t(x)$を

$f_t(x)=x^2-2x+\sin t+2$

$g_t(x)=x\cos t-\cos t+1$

$h_t(x)=x^2{\cos }^{2}t-2x{\cos }^{2}t+{\cos }^{2}t+\sin t+1$

によって定め，座標平面において，曲線$y=f_t(x)$の$g_t(0)\leqq x\leqq g_t(2)$の部分を$C_t$とする．また，$0\leqq s\leqq 2$を満たす実数$s$に対し，座標が$(g_t(s),h_t(s))$であるような点を${\mathrm{P}}_t(s)$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　${\mathrm{P}}_t(s)$は$C_t$上にあることを示せ．

(2)　$3$点${\mathrm{P}}_t(0)\text{，}$${\mathrm{P}}_t(1)\text{，}$${\mathrm{P}}_t(2)$の座標を求めよ．

(3)　曲線$y=f_t(x)$の$0\leqq x\leqq 2$の部分を${C_t}^{\prime }$とする．$t$が$0$から${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$まで動くときに曲線${C_t}^{\prime }$が通過する部分の面積を求めよ．

(4)　$t$が$0$から${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$まで動くときに点${\mathrm{P}}_t(2)$が描く曲線を$C^{″}$とする．曲線$C^{″}$と$3$直線$x=1\text{，}$$x=2\text{，}$$y=0$で囲まれる部分の面積を求めよ．

(5)　$t$が$0$から${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$まで動くときに曲線$C_t$が通過する部分の面積を求めよ．ただし，$1$点からなる図形も曲線とみなす．

【２】　実数$s\text{，}$$t$に対し，座標平面上の点$\mathrm{P}$$(x,y)$を

$x=2s-t\text{，}$$y=st$

と定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\alpha$についての$2$次方程式${\alpha }^2-x\alpha -2y=0$の解を$s\text{，}$$t$を用いて表せ．

(2)　$s\text{，}$$t$がそれぞれ$0\leqq s\leqq 1\text{，}$$0\leqq t\leqq 1$の範囲を動くとき，点$\mathrm{P}$が動く範囲を図示せよ．

(3)　$s\text{，}$$t$が(2)の範囲を動くとき，$2s-t-5s^2{t}^2$のとり得る値の範囲を求めよ．

(4)　$s\text{，}$$t$がそれぞれ実数全体を動くとき，点$\mathrm{P}$が動く範囲を図示せよ．