2022　東京理科大学　工学部B方式2月9日実施MathJax

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．与えられた枠数より少ない桁の数があてはまる場合は，上位の桁を$0$として，右に詰めた数値としなさい．分数は既約分数とし，値が整数の場合は分母を$1$としなさい．根号を含む形で解答する場合は，根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい．

(1)　以下の問いに答えなさい．

(a)　${\alpha }^2-2\alpha -2\beta =6$を満たす実数$\alpha \text{，}$$\beta$に対し，$t$に関する方程式$t^2-\alpha t+\beta =0$が実数解をもつとき，$\alpha$のとり得る値の範囲は$-\text{ア}\leqq \alpha \leqq \text{イ}$である．

　実数$x\text{，}$$y$が$x^2+y^2-2x-2y=6$を満たすとする．以下，$k$を実数の定数として，$z=k(x+y)-xy$のとり得る値について考える．

(b)　$k=-1$のとき，$z$のとり得る値の範囲は$-\text{ウ}\text{エ}\leqq z\leqq \text{オ}\text{，}$$k=7$のとき，$z$のとり得る値の範囲は$-\text{カ}\text{キ}\leqq z\leqq \text{ク}\text{ケ}$である．

(c)　$z$のとり得る値の最大値を$M$とすると

$k<-\text{コ}$のとき$M=-\text{サ}k-\text{シ}$

$-\text{コ}\leqq k\leqq \text{ス}$のとき$M={\displaystyle \frac{\text{セ}}{\text{ソ}}}(k^2+\text{タ}k+\text{チ})$

$\text{ス}<k$のとき$M=\text{ツ}k-\text{テ}$

である．

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．与えられた枠数より少ない桁の数があてはまる場合は，上位の桁を$0$として，右に詰めた数値としなさい．分数は既約分数とし，値が整数の場合は分母を$1$としなさい．根号を含む形で解答する場合は，根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい．

(2)　座標平面上を動く点$\mathrm{P}$は時刻$0$には原点にあり，$1$秒ごとに以下の規則で動く．

　ある時刻における$\mathrm{P}$の座標を$(x,y)$とすると，その$1$秒後に$\mathrm{P}$はそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{4}}$の確率で点$(x-1,y)\text{，}$$(x+1,y)\text{，}$$(x,y-1)\text{，}$$(x,y+1)$のいずれかにある．

　時刻$0$から$t$秒後における$\mathrm{P}$の座標を$(x_t,y_t)$とするとき，以下の問いに答えなさい．ただし，$t$は自然数とする．

(a)　$(x_4,y_4)=(1,3)$である確率は${\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}\text{ウ}}}$であり，$(x_4,y_4)=(2,2)$である確率は${\displaystyle \frac{\text{エ}}{\text{オ}\text{カ}\text{キ}}}$である．

(b)　$\left|x_4\right|+\left|y_4\right|=4$である確率は${\displaystyle \frac{\text{ク}\text{ケ}}{\text{コ}\text{サ}}}$である．

(c)　$(x_6,y_6)=(2,2)$である確率は${\displaystyle \frac{\text{シ}\text{ス}}{\text{セ}\text{ソ}\text{タ}}}$であり，$\left|x_6\right|+\left|y_6\right|=4$である確率は${\displaystyle \frac{\text{チ}\text{ツ}}{\text{テ}\text{ト}}}$である．

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．与えられた枠数より少ない桁の数があてはまる場合は，上位の桁を$0$として，右に詰めた数値としなさい．分数は既約分数とし，値が整数の場合は分母を$1$としなさい．根号を含む形で解答する場合は，根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい．

(3)　原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に点$\mathrm{A}$$(1,0)$と点$\mathrm{B}$$(0,1)$をとる．また，線分$\mathrm{OA}$上に点$\mathrm{P}\text{，}$線分$\mathrm{OB}$上に点$\mathrm{Q}$をとり，$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$の位置に応じて以下のように点$\mathrm{R}$$(x,y)$をとる．

・$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$がどちらも$\mathrm{O}$に一致しないとき，$\mathrm{R}$は第$1$象限内に$2$つの条件

$\mathrm{OP}=\mathrm{PR}$

$\mathrm{OQ}=\mathrm{QR}$

を満たすようにとる．

・$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$の少なくとも一方が$\mathrm{O}$に一致するとき，$\mathrm{R}$を$\mathrm{O}$にとる．

　$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$がそれぞれ$\mathrm{OA}$上，$\mathrm{OB}$上を動くときに，$\mathrm{R}$が動く領域と不等式$x^2+y^2\leqq 1$の表す領域の共通部分を$S$とする．このとき，以下の問いに答えなさい．

(a)　領域$S$にある点$\mathrm{R}$のうち，$x$軸から最も離れた点の座標は$({\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}}},{\displaystyle \frac{\sqrt{\text{ウ}}}{\text{エ}}})$である．

(b)　領域$S$の面積は${\displaystyle \frac{\text{オ}}{\text{カ}\text{キ}}}\pi -{\displaystyle \frac{\sqrt{\text{ク}}}{\text{ケ}}}$である．

(c)　領域$S$の境界上の点$\mathrm{T}$$(1-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}})$を通る直線$x+y={\displaystyle \frac{1}{2}}(3-\sqrt{3})$を考える．不等式$x+y\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}(3-\sqrt{3})$の表す領域と$S$の共通部分の面積は${\displaystyle \frac{\text{コ}}{\text{サ}}}\pi +{\displaystyle \frac{\sqrt{\text{シ}}}{\text{ス}}}-{\displaystyle \frac{\text{セ}}{\text{ソ}}}$である．

【２】　以下の問いに答えなさい．ただし，空欄$\text{(あ)}\text{〜}$$\text{(き)}$については適切な数または式を解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

　座標平面における楕円$C\text{：}{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+{(y-1)}^2=1$を考える．また，$t>2$として，点$\mathrm{P}$$(-\sqrt{2},t)$をとり，$\mathrm{P}$から楕円$C$へ$2$本の接線を引く．$2$本の接線と$x$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$とし，$\mathrm{A}$の$x$座標を$x_1\text{，}$$\mathrm{B}$の$x$座標を$x_2$とおく．ただし，$x_1<x_2$とする．

(1)　楕円$C$によって囲まれた図形の面積は$\text{(あ)}$である．

(2)　$x_1=\text{(い)}$である．

(3)　直線$\mathrm{PB}$の傾きを$m$とする．$m$および$x_2$を$t$を用いて表すと，$m=\text{(う)}\text{，}$$x_2=\text{(え)}$である．

(4)　三角形$\mathrm{APB}$の面積を$S$とおく．$S$を$t$を用いて表すと，$S=\text{(お)}$である．また，$t$を$t>2$の範囲で動かすとき，$S$の最小値は$\text{(か)}$であり，そのときの$t$の値は$\text{(き)}$である．

　なお，$\text{(か)}\text{，}$$\text{(き)}$の値を導く過程も所定の場所に書きなさい．

【３】　以下の問いに答えなさい．ただし，空欄$\text{(あ)}\text{〜}$$\text{(こ)}$については適切な数または式を解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

　関数$f(t)$を

$f(t)=-2\sin (2t-\pi )+4\sin t$

と定める．

(1)　方程式$f(t)=0$の解を，$0\leqq t\leqq 2\pi$の範囲で求めると，$t=\text{(あ)}\text{，}$$\text{(い)}\text{，}$$\text{(う)}$となる．ただし，$\text{(あ)}<\text{(い)}<\text{(う)}$とする．

　自然数$n$に対し，関数$H_n(x)$を

$H_n(x)={\displaystyle {\int }_x^{x+n\pi }}|f(t)|\mathit{dt}$$\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$

と定める．

(2)　$H_1(0)=\text{(え)}$である．

(3)　$x$が$0\leqq x\leqq \pi$の範囲を動くとき，$H_1(x)$の最小値は$\text{(お)}\text{，}$最大値は$\text{(か)}$である．また，$x$が$\pi \leqq x\leqq 2\pi$の範囲を動くとき，$H_1(x)$の最小値は$\text{(き)}\text{，}$最大値は$\text{(く)}$である．

(4)　自然数$k$に対し，$H_{2k}(x)$を$k$を用いて表すと，$H_{2k}(x)=\text{(け)}$である．

(5)　$a$を実数の定数とする．方程式$H_{2021}(x)=a$が，$0\leqq x\leqq 2\pi$の範囲で異なる$3$つの解をもつとき，$a=\text{(こ)}$である．

　なお，$\text{(こ)}$の値を導く過程も所定の場所に書きなさい．