2022　東京理科大学　薬学部B方式2月7日実施MathJax

【１】　$1$から$12$までの番号が$1$つずつ書かれた同じ大きさの$12$個の球が入った袋がある．この袋の中から球を$1$つ取り出し，球に書かれた番号を調べて球を元に戻す試行を$T$とする．いま，数直線上の原点に点$\mathrm{P}$がある．$1$回$T$を行い，取り出した球の番号が素数のときは，点$\mathrm{P}$を正の方向に$2$だけ移動させ，それ以外のときは，$\mathrm{P}$を正の方向に$1$だけ移動させる．$n$回目$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$の$T$が終わったときの点$\mathrm{P}$の座標を$x_n$とし，$x_1\text{，}$$x_2\text{，}$$x_3\text{，}\cdots$の中に$n$が含まれる確率を$p_n$とする．また，$x_0=0\text{，}$$p_0=1$とする．

(1)　$p_1={\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}\text{ウ}}}\text{，}$$p_2={\displaystyle \frac{\text{エ}\text{オ}\text{カ}}{\text{キ}\text{ク}\text{ケ}}}$である．

(2)　関係式

$\text{コ}\text{サ}{p}_{n+1}+\text{シ}{p}_n=\text{ス}\text{セ}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

が成り立つ．

(3)　$q_n=p_n-{\displaystyle \frac{\text{ソ}\text{タ}}{\text{チ}\text{ツ}}}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$とおくと，数列$\{q_n\}$は公比が$-{\displaystyle \frac{\text{テ}}{\text{ト}\text{ナ}}}$である等比数列となる．

(4)　$x_0\text{，}$$x_1\text{，}$$x_2\text{，}\cdots$の中に$n-1\text{，}$$n$がともに含まれる確率は

${\displaystyle \frac{\text{ニ}}{\text{ヌ}\text{ネ}}}\{1-{(-{\displaystyle \frac{\text{ノ}}{\text{ハ}\text{ヒ}}})}^n\}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

である．

【２】　$m\text{，}$$n$を自然数とし，$\log$は自然対数を表す．

(1)　$m=10$とする．このとき，

${\displaystyle \sum _{k=1}^m}k(k+1)=\text{ア}\text{イ}\text{ウ}$

であり，

${\displaystyle \sum _{k=1}^m}k(k+1)(k+2)=\text{エ}\text{オ}\text{カ}\text{キ}$

である．

(2)　$m=20$とする．このとき，

${\displaystyle \sum _{k=1}^m}{\displaystyle \frac{1}{k(k+1)}}={\displaystyle \frac{\text{ク}\text{ケ}}{\text{コ}\text{サ}}}$

であり，

${\displaystyle \sum _{k=1}^m}{\displaystyle \frac{1}{k(k+1)(k+2)}}={\displaystyle \frac{\text{シ}\text{ス}\text{セ}}{\text{ソ}\text{タ}\text{チ}}}$

である．

(3)　$T_m={\displaystyle \sum _{k=1}^m}{\displaystyle \frac{1}{n+k}}$とおくと

$\underset{n\to \infty }{\lim }{T}_{40n}=\log \text{ツ}\text{テ}$

である．

【３】　座標平面上に，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C_1$があって，半径が$1$である円$C_2$と点$\mathrm{A}$で外接しているという．$C_1$と$C_2$の共通接線のうち点$\mathrm{A}$を通らない共通接線の$1$つを$l$とする．円$C_1\text{，}$$C_2$と共通接線$l$によって囲まれた領域（境界線を含む）を$D_1\text{，}$$D_1$内（境界線を含む）の点${\mathrm{O}}_1$を中心とし，円$C_1\text{，}$$C_2$および$l$と接する円を$C_3$とする．さらに，円$C_1\text{，}$$C_3$および$l$によって囲まれた領域（境界線を含む）を$D_2$とし，$D_2$内（境界線を含む）の点${\mathrm{O}}_2$を中心とする円を$C_4$とする．

(1)　領域$D_1$の面積は$\text{ア}-{\displaystyle \frac{\text{イ}}{\text{ウ}}}\pi$である．

　また，円$C_3$の半径は${\displaystyle \frac{\text{エ}}{\text{オ}}}$である．

(2)　$\theta =\mathrm{\angle O}{\mathrm{O}}_1\mathrm{A}$とすると，$D_2$の面積は

${\displaystyle \frac{\text{カ}}{\text{キ}}}-{\displaystyle \frac{\text{ク}}{\text{ケ}\text{コ}}}\pi -{\displaystyle \frac{\text{サ}\text{シ}}{\text{ス}\text{セ}}}\theta$

と表される．また，円$C_4$が円$C_1\text{，}$$C_3$および直線$l$に接するのは，$C_4$の半径が${\displaystyle \frac{\text{ソ}}{\text{タ}}}$のときである．

　点$\mathrm{A}$を中心とする円$B_0$の半径を${\displaystyle \frac{\text{ソ}}{\text{タ}}}$とする．$B_0$に内接する正方形を$S_1\text{，}$その面積を$p_1\text{，}$正方形$S_1$に内接する円を$B_1\text{，}$その面積を$q_1$とする．そして，正方形$S_i$に内接する円を$B_i\text{，}$$B_i$に内接する正方形を$S_{i+1}\text{，}$$S_{i+1}$に内接する円を$B_{i+1}$とし，正方形$S_i$の面積を$p_i\text{，}$円$B_i$の面積を$q_i$とする．ただし，$i=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots$である．

(3)

$p_1={\displaystyle \frac{\text{チ}}{\text{ツ}\text{テ}}}\text{，}$

$q_1={\displaystyle \frac{\text{ト}}{\text{ナ}\text{ニ}\text{ヌ}}}\pi$

である．そして

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }}(p_i+q_i)={\displaystyle \frac{\text{ネ}}{\text{ノ}\text{ハ}}}(\pi +\text{ヒ})$

となる．

【４】　関数$f(x)=x\text{，}$$g(x)={\displaystyle \frac{x^2}{2}}$とする．このとき，原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上において，直線$l_1\text{：}y=f(x)$と放物線$C\text{：}y=g(x)$を考える．

(1)　直線$l_1$と放物線$C$によって囲まれた部分を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積は${\displaystyle \frac{\text{ア}\text{イ}}{\text{ウ}\text{エ}}}\pi$である．また，直線$l_1$と放物線$C$によって囲まれた部分を$y$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積は${\displaystyle \frac{\text{オ}}{\text{カ}}}\pi$である．

(2)　直線$l_1$上の点$\mathrm{P}$で$l_1$と直交し，かつ放物線$C$と異なる$2$つの共有点をもつ直線を$l_2$とする．$C$と$l_2$の共有点のうち$x$座標の大きい方を$\mathrm{Q}$とし，点$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の距離を$s\text{，}$原点$\mathrm{O}$と$\mathrm{P}$の距離を$t$とする．

(a)　点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$q$とすると$q>-\text{キ}$であり，$s\text{，}$$t$は，$q$を用いて

$s=\sqrt{\text{ク}}|{\displaystyle \frac{\text{ケ}}{\text{コ}}}q-{\displaystyle \frac{\text{サ}}{\text{シ}}}{q}^2|\text{，}$$t=\sqrt{\text{ス}}|{\displaystyle \frac{\text{セ}}{\text{ソ}}}q+{\displaystyle \frac{\text{タ}}{\text{チ}}}{q}^2|$

と表される．$s$が極大値をとるとき，直線$l_2$の方程式は$y=-x+{\displaystyle \frac{\text{ツ}}{\text{テ}}}$である．

(b)　$h(x)=-x+{\displaystyle \frac{\text{ツ}}{\text{テ}}}$とする．連立不等式

$y\leqq f(x)\text{，}$$y\geqq g(x)\text{，}$$y\leqq h(x)$

が表す領域（境界線を含む）を$D$とする．$D$を直線$y=f(x)$の周りに$1$回転させてできる立体の体積は${\displaystyle \frac{\text{ト}}{\text{ナ}\text{ニ}\text{ヌ}}}\sqrt{\text{ネ}}\pi$である．また，$D$を直線$y=h(x)$の周りに$1$回転させてできる立体の体積は${\displaystyle \frac{\text{ノ}\text{ハ}}{\text{ヒ}\text{フ}\text{ヘ}}}\sqrt{\text{ホ}}\pi$である．