2022　東京理科大学　理学部応用数学科2月5日実施MathJax

【１】　$$内のカタカナおよび平仮名にあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートにマークせよ． ただし，$$は$2\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数，$$は$3\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数，$$は$4\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数を表すものとする．

　自然数からなる数列$\{a_n\}$がすべての自然数$n$に対して以下の関係式を満たしているとする．

$a_{n+2}=b_n{a}_{n+1}+a_n\text{，}$

ただし，数列$\{b_n\}$は$n$が奇数のとき$1$で，$n$が偶数のとき$2$である数列とする．

(1)(a)　$a_1=3\text{，}$$a_2=7$のとき，$a_7$と$a_8$の最大公約数は$\text{ア}$である．

(b)　$a_1=3\text{，}$$a_2=6$のとき，$a_7$と$a_8$の最大公約数は$\text{イ}$である．

(2)

$a_7=\text{ウ}\text{エ}{a}_2+\text{オ}\text{カ}{a}_1$

であり，

$a_8=\text{キ}\text{ク}{a}_2+\text{ケ}\text{コ}{a}_1$

と表すことができる．この$2$つの式から$a_2$を消去することで

$\text{サ}\text{シ}{a}_7-\text{ス}\text{セ}{a}_8=a_1$

を得る．

　また

$a_{14}=\text{ソ}\text{タ}\text{チ}\text{ツ}{a}_2$$+\text{テ}\text{ト}\text{ナ}\text{ニ}{a}_1$

と表すことができる．

(3)(a)　$k$を自然数とし，$a_2=k{a}_1$とする．このとき，

$a_{7}x+a_{8}y=a_1$

を満たす，すべての整数解$(x,y)$は，整数$l$を用いて，

$x=\text{ヌ}\text{ネ}kl+\text{ノ}\text{ハ}l+\text{ヒ}\text{フ}\text{，}$

$y=-\text{ヘ}\text{ホ}kl-\text{マ}\text{ミ}l-\text{ム}\text{メ}$

と表すことができる．

(b)　$a_2=2a_1+1$とする．このとき，

$a_{7}x+a_{8}y=1$

を満たす，すべての整数解$(x,y)$は，整数$l$を用いて，

$x=\text{モ}\text{ヤ}\text{ユ}{a}_{1}l$$+\text{ヨ}\text{ラ}l-\text{リ}\text{ル}\text{レ}\text{，}$

$y=-\text{ロ}\text{ワ}{a}_{1}l$$-\text{ヲ}\text{ン}l+\text{あ}\text{い}$

と表すことができる．

【２】　実数$c$に対して，$x$の整式$f(x)$を$f(x)=x^3-cx+c$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)　$f(x)=0$の実数解$\alpha$に対して，$f(x)=(x-\alpha )(x^2+Ax+B)$となる$A$と$B$を$\alpha$の式で表せ．

(2)　$f(x)=0$を満たす実数$x$がただ$1$つであるような$c$の値の範囲を求めよ．

(3)　$c$が(2)で求めた範囲を動くとき，さらに$f(x)=0$の実数解が$-1$以下となるような$c$の値の範囲を求めよ．

(4)　$c$が(3)で求めた範囲を動くとき，$f(x)=0$の実数解$\alpha$がとり得る値の範囲を求めよ．

(5)　$c$が(3)で求めた範囲を動くとき，$f(x)=0$の実数でない解$\beta$に対して，その絶対値$\left|\beta \right|$がとり得る値の範囲を求めよ．