2022　東京理科大学　推薦経営,理(応用数学,物理)学部MathJax

【１】　$a>0\text{，}$$b>0\text{，}$$c>0$のとき，整式$P=a^3+b^3+c^3-3abc$を考える．

1)　$a\text{，}$$b$を正の定数とする．$x$の$3$次関数$f(x)=x^3-3abx+a^3+b^3$の$x>0$における最小値を求めなさい．

2)　1)の結果を利用して，$a>0\text{，}$$b>0\text{，}$$c>0$のとき，不等式$a^3+b^3+c^3-3abc\geqq 0$が成り立つことを証明しなさい．また，等号が成り立つのはどのようなときか．

3)　2)の結果を利用して，$a>0\text{，}$$b>0\text{，}$$c>0$のとき，不等式${\displaystyle \frac{a+b+c}{3}}\geqq \sqrt[3]{abc}$が成り立つことを証明しなさい．また，等号が成り立つのはどのようなときか．