2022　早稲田大学　理工系学部MathJax

【１】　$f(x)=3e^x-6\text{，}$$g(x)=e^{2x}-4e^x$とおく．$xy$平面上の曲線$y=f(x)$を$C\text{，}$曲線$y=g(x)$を$D$とする．以下の問に答えよ．

(1)　$C$と$D$の概形を一つの$xy$平面上に描け．

(2)　$C$と$D$によって囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

(3)　$C$と$D$によって囲まれた部分を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．

【２】　$p\text{，}$$q$を相異なる素数とする．次の$3$条件をみたす$x$の$2$次式$f(x)$を考える．

・係数はすべて整数で$x^2$の係数は$1$である．

・$f(1)=pq$である．

・方程式$f(x)=0$は整数解をもつ．

　以下の問に答えよ．

(1)　$f(x)$をすべて求めよ．

(2)　(1)で求めたものを$f_1(x)\text{，}$$f_2(x)\text{，}\cdots \text{，}$$f_m(x)$とする．$2m$次方程式$f_1(x)\times f_2(x)\times \cdots \times f_m(x)=0$の相異なる解の総和は$p\text{，}$$q$によらないことを示せ．

【３】　$r$を実数とする．次の条件によって定められる数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}\text{，}$$\{c_n\}$を考える．

$a_1=r\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{\left[a_n\right]}{4}}+{\displaystyle \frac{a_n}{4}}+{\displaystyle \frac{5}{6}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

$b_1=r\text{，}$$b_{n+1}={\displaystyle \frac{b_n}{2}}+{\displaystyle \frac{7}{12}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

$c_1=r\text{，}$$c_{n+1}={\displaystyle \frac{c_n}{2}}+{\displaystyle \frac{5}{6}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

　ただし，$\left[x\right]$は$x$を超えない最大の整数とする．以下の問に答えよ．

(1)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n$と$\underset{n\to \infty }{\lim }{c}_n$を求めよ．

(2)　$b_n\leqq a_n\leqq c_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$を示せ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

【４】　一辺の長さが$\sqrt{3}+1$である正八面体の頂点を右図のように${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$${\mathrm{P}}_3\text{，}$${\mathrm{P}}_4\text{，}$${\mathrm{P}}_5\text{，}$${\mathrm{P}}_6$とする．各$i=1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{，}$$6$に対して，${\mathrm{P}}_i$以外の$5$点を頂点とする四角錐（すい）のすべての面に内接する球（内部を含む）を$B_i$とする．$B_1$の体積を$X$とし，$B_1$と$B_2$の共通部分の体積を$Y$とし，$B_1\text{，}$$B_2\text{，}$$B_3$の共通部分の体積を$Z$とする．さらに$B_1\text{，}$$B_2\text{，}\cdots \text{，}$$B_n$を合わせて得られる立体の体積を$V_n$$\text{（}n=2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{，}$$6\text{）}$とする．以下の問に答えよ．ただし(1)は答のみを解答用紙の該当欄に書け．

(1)　$V_n=aX+bY+cZ$となる整数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を$n=2\text{，}$$3\text{，}$$6$の場合について求めよ．

(2)　$X$の値を求めよ．

(3)　$V_2$の値を求めよ．

【５】　$a>0$を定数とし，$f(x)=x^a\log x$とする．以下の問に答えよ．

(1)　$\underset{x\to +0}{\lim }f(x)$を求めよ．必要ならば$\underset{s\to \infty }{\lim }s{e}^{-s}=0$が成り立つことは証明なしに用いてよい．

(2)　曲線$y=f(x)$の変曲点が$x$軸上に存在するときの$a$の値を求めよ．さらにそのとき$y=f(x)$のグラフの概形を描け．

(3)　$t>0$に対して，曲線$y=f(x)$上の点$(t,f(t))$における接線を$l$とする．$l$が$y$軸の負の部分と交わるための$(a,t)$の条件を求め，その条件の表す領域を$at$平面上に図示せよ．