2022　早稲田大学　人間科学部MathJax

【１】(1)　表面にアルファベットが，裏面には自然数が書かれている$5$枚のカードが，次のように置かれている．

$\text{P}\text{Q}\text{1}\text{3}\text{6}$

これら$5$枚のカードに対する命題「表面がアルファベット$\text{P}$ならば，裏面は素数である」の真偽を調べるために，できるだけ少ない枚数のカードを裏返して確認したい．左から$n$番目の位置にあるカードを裏返す必要のあるときには$a_n=1\text{，}$必要のないときには$a_n=0$とするとき，

${\displaystyle \sum _{k=1}^5}{a}_k{2}^{k-1}=\text{ア}$

である．

【１】(2)　$2$次関数$y=a{x}^2+bx+c$の係数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$は次の条件をともに満たすとする．

条件１．$a\text{，}$$b\text{，}$$c$は互いに異なる．

条件２．$-3$以上$5$以下の整数である．

この$2$次関数のグラフが，原点を通り，かつ，頂点が第$1$象限または第$3$象限にあるような$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の組は全部で$\text{イ}$組ある．

【１】(3)　$\mathrm{▵ABC}$において，$3$つの角の大きさを$A\text{，}$$B\text{，}$$C$とし，それぞれの対辺の長さを$a\text{，}$$b\text{，}$$c$とする．

$5a^2+5b^2+6bc-5c^2=0$

のとき，$\sin 2A+\cos 2A={\displaystyle \frac{\text{ウ}}{\text{エ}}}$である．

【２】　$2\sin \theta +\sin 2\theta +2\sin 3\theta -2\sin 2\theta \cos \theta >0$$\text{（}0<\theta <\pi \text{）}$を満たす$\theta$の範囲は，

$0<\theta <{\displaystyle \frac{\text{オ}}{\text{カ}}}\pi \text{，}$${\displaystyle \frac{\text{キ}}{\text{ク}}}\pi <\theta <\pi$

である．

【３】　正四面体$\mathrm{OABC}$の辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$辺$\mathrm{OC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{N}$とする．点$\mathrm{N}$と平面$\mathrm{OAB}$に関して対称な点を$\mathrm{P}$とする．このとき，

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}={\displaystyle \frac{\text{ケ}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\text{コ}\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\text{サ}\overrightarrow{\mathrm{OC}}}{\text{シ}}}$

である．次に，点$\mathrm{Q}$は平面$\mathrm{OAB}$上の点で，$\left|\overrightarrow{\mathrm{MQ}}\right|+\left|\overrightarrow{\mathrm{QN}}\right|$が最小になる点とする．このとき，

$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}={\displaystyle \frac{\text{ス}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\text{セ}\overrightarrow{\mathrm{OB}}}{\text{ソ}}}$

である．

【４】　互いに異なる実数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$について，$a+b+c=0\text{，}$$bc+ca+ab=-3$であるとき，$abc$のとりうる値の範囲は，$\text{タ}<abc<\text{チ}$である．さらに，$a<b<c$のとき，$a\text{，}$$b\text{，}$$c$のとりうる値の範囲は，$\text{ツ}<a<\text{テ}<b<\text{ト}<c<\text{ナ}$である．

【５】　$a$を実数とする．関数

$f(x)=-x^2+6x$$\text{（}a-2\leqq x\leqq a\text{）}$

の最大値を$g(a)\text{，}$最小値を$h(a)$とする．このとき，$ab$平面において$b=g(a)$のグラフと$a$軸によって囲まれる部分の面積は$\text{ニ}$であり，$ab$平面において$b=h(a)$のグラフと$a$軸によって囲まれる部分の面積は${\displaystyle \frac{\text{ヌ}}{\text{ネ}}}$である．

【４】　直線$x+y=1$に接する楕円${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$$\text{（}a>0\text{，}$$b>0\text{）}$がある．このとき，$b^2=\text{タ}{a}^2+\text{チ}$である．

　この楕円を直線$y=b$のまわりに$1$回転してできる立体の体積は，$a={\displaystyle \frac{\sqrt{\text{ツ}}}{\text{テ}}}$のとき，最大値${\displaystyle \frac{\text{ト}\sqrt{\text{ナ}}}{\text{ニ}}}{\pi }^2$をとる．

【５】　$i$を虚数単位とする．$\alpha =-1+i$とし，$z$は次の条件をともに満たす複素数する．

条件１．${\displaystyle \frac{z-\alpha }{z-\bar{\alpha }}}$の実部は$0$である．

条件２．$z$の虚部は$0$以上である．

　このとき，複素数平面上で$z$がとりうる値全体の集合を表す図形$C$と，実軸で囲まれる部分の面積は${\displaystyle \frac{\text{ヌ}}{\text{ネ}}}\pi$である．また，$w={\displaystyle \frac{iz}{z+1}}$で表される点$w$がとりうる値全体の集合を表す図形と，図形$C$で囲まれる部分の面積は${\displaystyle \frac{\text{ノ}\pi +\text{ハ}}{\text{ヒ}}}$である．