2022　早稲田大学　教育学部MathJax

【１】　次の各問の解答を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(1)　座標空間内に$3$点$\mathrm{A}$$(2,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,4,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,0,8)$をとる．$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BP}}+\overrightarrow{\mathrm{CP}}$の内積が$0$となるような点$\mathrm{P}$$(x,y,z)$のうち，$\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|$が最大となる点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

【１】　次の各問の解答を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(2)　$t\geqq 0$に対して

$f(t)=2\pi {\displaystyle {\int }_0^{2t}}|x-t|\cos (2\pi x)\mathit{dx}-t\sin (4\pi t)$

と定義する．このとき，

$f(t)=0$

をみたす$t$のうち，閉区間$[0,1]$に属する相異なるものはいくつあるか．

【１】　次の各問の解答を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(3)　座標空間内の$4$点$(2,0,0)\text{，}$$(-1,\sqrt{3},0)\text{，}$$(-1,-\sqrt{3},0)\text{，}$$(0,0,2)$を頂点とする四面体を$P\text{，}$$4$点$(-2,0,1)\text{，}$$(1,-\sqrt{3},1)\text{，}$$(1,\sqrt{3},1)\text{，}$$(0,0,-1)$を頂点とする四面体を$Q$とする．$R$を$P$と$Q$の共通部分とする．$R$を平面$z={\displaystyle \frac{1}{3}}$で切ったときの切り口の面積を求めよ．

【１】　次の各問の解答を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(4)　次の無限級数の和は自然数となる．その自然数を求めよ．

${\displaystyle \sum _{n=6}^{\infty }}{\displaystyle \frac{1800}{(n-5)(n-4)(n-1)n}}$

【２】　サイコロを$n$回投げて出た目の積を$S$とする．$S$の正の約数の個数が$k$個となる確率を$P_k$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$P_3$を$n$の式で表せ．

(2)　$P_4$を$n$の式で表せ．

【３】　$\mathrm{O}$$(0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(0,1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(p,q)$を座標平面上の点とし，$p$は$0$でないとする．$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$を通る直線を$l$とおく．$\mathrm{O}$を中心とし$l$に接する円の面積を$D_1$で表す．また$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を通る円周で囲まれる円の面積を$D_2$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　$D_1$を$p\text{，}$$q$を使って表せ．

(2)　点$(2,2\sqrt{3})$を中心とする半径$1$の円周を$C$とする．点$\mathrm{B}$が$C$上を動くときの$D_1$と$D_2$の積

$D_1{D}_2$

の最小値と最大値を求めよ．

【４】　自然数$a\text{，}$$b$に対し，$3$次関数$f_{a,b}(x)\text{，}$$g_{a,b}(x)$を

$f_{a,b}(x)=x^3+3a{x}^2+3bx+8$

$g_{a,b}(x)=8x^3+3b{x}^2+3ax+1$

で定める．次の問いに答えよ．

(1)　次の条件(Ⅰ)，(Ⅱ)の両方をみたす自然数の組$(a,b)$で，$a+b\leqq 9$となるものをすべて求めよ．

(Ⅰ)　$f_{a,b}(x)$が極値をもつ．

(Ⅱ)　$g_{a,b}(x)$が極値をもつ．

(2)　$3$次方程式$f_{a,b}(x)=0$の$3$つの解が$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$であるとき，$3$次方程式$g_{a,b}(x)=0$の解を$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$を使って表せ．

(3)　次の条件(Ⅲ)をみたす自然数の組$(a,b)$で，$a+b\leqq 9$となるものをすべて求めよ．

(Ⅲ)　$3$次方程式$f_{a,b}(x)=0$が相異なる$3$つの実数解をもつ．