2022　早稲田大学　商学部MathJax

【１】　$\text{ア}\text{〜}$$\text{エ}$にあてはまる数または式を記述解答用紙の所定欄に記入せよ．

(1)　数列$\{a_n\}$が次の条件を満たしている．

(ⅰ)　$a_1=a_2=4$

(ⅱ)　$a_{n+2}={a_n}^{{\log }_2{a}_{n+1}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

このとき，${\log }_2({\log }_2{a}_{10})=\text{ア}$である．

【１】　$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{エ}}$にあてはまる数または式を記述解答用紙の所定欄に記入せよ．

(2)　実数$x\text{，}$$y$が$x^2+y^2\leqq 3$を満たしているとき，$x-y-xy$の最大値は$\text{イ}$である．

【１】　$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{エ}}$にあてはまる数または式を記述解答用紙の所定欄に記入せよ．

(3)　$a$を実数とする．数列$\{a_n\}$が次の条件を満たしている．

(ⅰ)　$a_1=a$

(ⅱ)　$a_{n+1}=a_n^2-2a_n-3$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

このとき，すべての正の整数$n$に対して，$a_n\leqq 10$となるような$a$の最小値は$\text{ウ}$である．

【１】　$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{エ}}$にあてはまる数または式を記述解答用紙の所定欄に記入せよ．

(4)　$3$次関数$f(x)$は，$x=1$で極大値$5$をとり，$x=2$で極小値$4$をとる．関数$f(x)$$\text{（}x\geqq 0\text{）}$のグラフを，原点を中心に時計回りに$\theta$回転して得られる図形を$C(\theta )$とする．ただし，$0<\theta <\pi$とする．$C(\theta )$と$x$軸の共有点が相異なる$3$点であるとき，それらを$x$座標が小さい順に${\mathrm{P}}_{\theta }\text{，}$${\mathrm{Q}}_{\theta }\text{，}$${\mathrm{R}}_{\theta }$とする．線分${\mathrm{Q}}_{\theta }{\mathrm{R}}_{\theta }$と$C(\theta )$で囲まれた部分の面積が${\displaystyle \frac{81}{32}}$であるとき，${\mathrm{Q}}_{\theta }$の$x$座標は$\text{エ}$である．

【２】　空間ベクトルに対し，次の関係を定める．

空間ベクトルの集合$P=\{(x,y,z)|x\text{，}y\text{，}z\text{は}0\text{以上}7\text{以下の整数}\}$の要素を前から順に$\overrightarrow{p_1}\text{，}$$\overrightarrow{p_2}\text{，}\cdots \text{，}$$\overrightarrow{p_m}$とする．ここで，$m$は$P$に含まれる要素の総数を表す．つまり．$P=\{\overrightarrow{p_1},\overrightarrow{p_2},\cdots ,\overrightarrow{p_m}\}$であり，

$\overrightarrow{p_n}\prec \overrightarrow{p_{n+1}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}m-1\text{）}$

を満たしている．次の設問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{p_{67}}$を求めよ．

(2)　集合$\{n|\overrightarrow{p_n}\perp (1,0,-2)\}$の要素のうちで最大のものを求めよ．

【３】　座標空間において，$2$つの円$C_1\text{，}$$C_2$を

$C_1=\{(x,y,0)|x^2+y^2=1\}\text{，}$$C_2=\{(0,y,z)|{(y-1)}^2+z^2=1\}$

とする．次の設問に答えよ．

(1)　$C_1$上の$2$点と$C_2$上の点$(0,1,1)$を頂点とする正三角形を考える．このような正三角形の$1$辺の長さをすべて求めよ．

(2)　すべての頂点が$C_1\cup C_2$上にある正四面体を考える．このような正四面体の$1$辺の長さをすべて求めよ．