2022　早稲田大学　社会科学部MathJax

【１】　ある国の国民がある病気に罹患している確率を$p$とする．その病気の検査において，罹患者が陽性と判定される確率を$q\text{，}$非罹患者が陽性と判定される確率を$r$とする．ただし，$0<p<1\text{，}$$0<r<q$である．さらに，検査で陽性と判定された人が罹患している確率を$s$とする．次の問に答えよ．

(1)　$s$を$p\text{，}$$q\text{，}$$r$を用いて表せ．

　同じ人がこの検査を$k$回行うとして，以下の問に答えよ．

(2)　$k$回すべてで陽性と判定されれば最終的に陽性と判断される場合，最終的に陽性と判断された人が罹患している確率を$a_k$とする．$a_k$を$p\text{，}$$q\text{，}$$r\text{，}$$k$を用いて表せ．

(3)　$k$回のうち$1$回でも陽性と判定されれば最終的に陽性と判断される場合，最終的に陽性と判断された人が罹患している確率を$b_k$とする．$b_k$を$p\text{，}$$q\text{，}$$r\text{，}$$k$を用いて表せ．

(4)　$s\text{，}$$a_2\text{，}$$b_2$の大小関係を示せ．

【２】　$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=1\text{，}$$\mathrm{BC}=a$の二等辺三角形$\mathrm{ABC}$の内接円を$I\text{，}$外接円を$O$とする．ただし，$0<a<\sqrt{2}$である．また，三角形$\mathrm{ABC}$と円$I$の$3$つの接点を頂点とする三角形を$T\text{，}$$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$で円$O$に外接する三角形を$U$とする．次の問に答えよ．

(1)　三角形$T$の，$\mathrm{BC}$に平行な辺の長さ$t$を$a$で表せ．

(2)　三角形$U$の，$\mathrm{BC}$に平行な辺の長さ$u$を$a$で表せ．

(3)　${\displaystyle \frac{t}{u}}=p$とする．$p$が最大となる$a$の値と，そのときの$p$の値を求めよ．

【３】　整式$P(x)$を$x-1$で割ると$1$余り，${(x+1)}^2$で割ると$3x+2$余る．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$P(x)$を$x+1$で割ったときの余りを求めよ．

(2)　$P(x)$を$(x-1)(x+1)$で割ったときの余りを求めよ．

(3)　$P(x)$を$(x-1){(x+1)}^2$で割ったときの余りを求めよ．