2022　早稲田大学　人間科学部共通テスト利用MathJax

【１】

(1)　方程式$x(x-1)(x-2)(x-3)+1=0$の解を求めよ．

【１】

(2)　$\mathrm{▵ABC}$において，$3$つの角の大きさを$A\text{，}$$B\text{，}$$C$とし，それぞれの対辺の長さを$a\text{，}$$b\text{，}$$c$とする．$\mathrm{▵ABC}$の外接円の半径を$R=\sqrt{2}$とし，

$2\sqrt{2}({\sin }^{2}A-{\sin }^{2}B)$$=(a-c)\sin C$

のとき，$\mathrm{▵ABC}$の面積$S$の最大値を求めよ．

【１】

(3)　直線$l\text{：}y=x-6$上の点$\mathrm{P}$から放物線$C\text{：}y=x^2-5x+4$に$2$本の接線を引く．$C$と$2$つの接線で囲まれた図形の面積の最小値を求めよ．

【２】　曲線$y=||x^2-x|-x|-x$と$x$軸によって囲まれた$2$つの部分の面積の和をめよ．

【３】

(1)　表面に$1$から$8$までの数字が$1$つずつ書かれた$8$枚のカードがある．これらのカードを裏返してよく混ぜ合わせた後，横一列に並べた．このとき，左から$n$番目の位置にあるカードの表面の数字が$n$であるカードの枚数が，ちょうど$4$枚となる確率を求めよ．

【３】

(2)　$a$を実数の定数とする．実数を係数にもつ$x$についての$2$方程式

${\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2＋(\sqrt{{\log }_{2}a})x+{\log }_4(a+1)=0$

が実数解をもたないとき，定数$a$の満たす必要十分条件を求めよ．

【３】

(3)　原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に点$\mathrm{P}$$(61,37)$がある．点$\mathrm{Q}$は第$2$象限にあり，$x$座標と$y$座標がともに整数で，かつ，

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=1$

を満たす．このような点のうち，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\right|$が最小となような点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

【４】(1)　等式$a+b=ab-1$を満たす整数$a\text{，}$$b$の組をすべて求めよ．

(2)　等式$2a+{\displaystyle \frac{1}{2}}b=ab-1$を満たす整数$a\text{，}$$b$の組をすべて求めよ．

(3)　$m>3$である自然数$m$に対して，等式$ma+{\displaystyle \frac{1}{m}}b=ab-1$を満たす整数$a\text{，}$$b$の組をすべて求めよ．

【５】　自然数$n$に対して，

$S_n={\displaystyle {\int }_{e^{n-1}}^{e^n}}{\displaystyle \frac{\sin (\pi \log x)}{x^2}}\mathit{dx}$

とする．さらに，

$T={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{S}_n$

とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$S_1$を求めよ．

(2)　${\displaystyle \frac{S_{n+1}}{S_n}}$を求めよ

(3)　$T$を求めよ．