2022　同志社大　理系学部2月4日実施MathJax

【１】　次の$$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．

(1)　$1$枚の硬貨と，$1$から$4$までの異なる番号をつけた4枚のカードに対して，「硬貨を投げ，裏が出れば$0$点を獲得する．表が出れば，$4$枚のカードから無作為に$1$枚を取り出して，取り出したカードの番号と同じ点数を獲得する．取り出したカードはもとに戻す」という試行を$n$回繰り返す．この$n$回の試行で獲得した点数の合計が$2$以上の偶数になる確率を$p_n$とおく．このとき，$p_1=\text{ア}\text{，}$$p_2=\text{イ}$であり，$p_{n+1}$を$p_n$で表すと$p_{n+1}=\text{ウ}{p}_n+\text{エ}$となる．$p_n$を$n$の式で表すと，$p_n=\text{オ}$である．

【１】　次の$$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．

(2)　$i$を虚数単位とする．複素数平面上の$3$点$\mathrm{A}(2i)\text{，}$$\mathrm{B}(-1+i)\text{，}$$\mathrm{C}(1+i)$を考える．点$\mathrm{D}$と点$\mathrm{E}$は，点$\mathrm{A}$を原点を中心として，それぞれ${\displaystyle \frac{2}{3}}\pi$と$-{\displaystyle \frac{2}{3}}\pi$だけ回転した点とする．点$\mathrm{D}$を表す複素数の実部は$\text{カ}\text{，}$点$\mathrm{E}$を表す複素数の虚部は$\text{キ}$である．点$\mathrm{F}$は，点$\mathrm{C}$を点$\mathrm{B}$を中心として$-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$だけ回転し，点$\mathrm{B}$からの距離を${\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}}{2}}$倍した点とする．点$\mathrm{F}$を表す複素数の実部は$\text{ク}\text{，}$虚部は$\text{ケ}$である．六角形$\mathrm{ABDFEC}$の面積は$\text{コ}$である．

【２】　条件(＊)$t^2\ne 5$を満たす実数$t$に対して，$f(t)={\displaystyle \frac{t^2-4t+5}{t^2-5}}\text{，}$$g(t)={\displaystyle \frac{-2t^2+10t-10}{t^2-5}}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　条件(＊)を満たすすべての$t$に対して，点$(f(t),g(t))$が双曲線$H\text{：}\alpha x^2-\beta y^2=1$上にあるとき，定数$\alpha \text{，}$$\beta$の値を求めよ．

(2)　条件(＊)を満たすすべての$t$に対して，$2$つの等式

$f(-t)=af(t)+bg(t)\text{，}$$-g(-t)=cf(t)+dg(t)$

が同時に成り立つとき，定数$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$の値を求めよ．

(3)　(2)の定数$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$を用いて，$p^{\prime }\text{，}$$q^{\prime }$を$2$つの式$p^{\prime }=ap+bq\text{，}$$q^{\prime }=cp+dq$で定める．$p=1\text{，}$$q=2$のとき，$p^{\prime }\text{，}$$q^{\prime }$の値を求めよ．

(4)　(1)の双曲線$H$上にある任意の点$(p,q)$に対して，(3)の$2$つの式で定まる点$(p^{\prime },q^{\prime })$も$H$上にあることを示せ．

(5)　$r_1=1\text{，}$$r_{n+1}=9r_n+4\sqrt{5{r_n}^2-1}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$で定められる数列$\{r_n\}$の各項が正の整数であることを示せ．

【３】　座標空間内の四面体$\mathrm{OABC}$は，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|=1\text{，}$$\cos \mathrm{\angle AOB}=\cos \mathrm{\angle AOC}=\cos \mathrm{\angle BOC}={\displaystyle \frac{1}{3}}$を満たしている．この四面体に対して，辺$\mathrm{OA}$上の点と辺$\mathrm{BC}$上の点を結ぶ線分の長さを$L$とする．$2$点がそれぞれ辺$\mathrm{OA}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$上の点全体を動いたとき，$L$を最小にする辺$\mathrm{OA}$上の点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$上の点を$\mathrm{Q}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表せ．

(2)　$(\overrightarrow{\mathrm{OA}}+x\overrightarrow{\mathrm{OB}}+y\overrightarrow{\mathrm{OC}})\cdot \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=0$かつ$(\overrightarrow{\mathrm{OA}}+x\overrightarrow{\mathrm{OB}}+y\overrightarrow{\mathrm{OC}})\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=0$を満たす実数$x\text{，}$$y$を求めよ．

(3)　$3$点$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{S}\text{，}$$\mathrm{T}$がそれぞれ線分$\mathrm{PQ}\text{，}$辺$\mathrm{OB}\text{，}$辺$\mathrm{OC}$上の点全体を動いたとき，${\left|\overrightarrow{\mathrm{SR}}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{\mathrm{TR}}\right|}^2$の最小値を求めよ．また，そのときの$\overrightarrow{\mathrm{SR}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{TR}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表せ．

【４】　定数$a$は$0<a<1$とする．$\theta$を実数とし，関数

$f(\theta )={\displaystyle \frac{1-a^2}{2\pi (1+a^2-2a\cos \theta )}}$

とする．次の問いに答えよ．

(1)　$t=\tan {\displaystyle \frac{\theta }{2}}$$\text{（}-\pi <\theta <\pi \text{）}$とおいて，$f(\theta )$を$t$の式で表す．この$t$の式を$f_1(t)$とすると，$t$の関数$f_1(t)$はある定数$b$を用いて，$f_1(t)={\displaystyle \frac{b(1+t^2)}{2\pi (b^2+t^2)}}$と表せる．$b$を$a$の式で表せ．

(2)　$g(\theta )$は連続で$2\pi$を周期とする周期関数とする．$c$を実数とするとき，等式${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}g(\theta )\mathit{d\theta }={\displaystyle {\int }_c^{c+2\pi }}g(\theta )\mathit{d\theta }$が成り立つことを示せ．

(3)　$-\pi <\theta <\pi$のとき，実数$u$$(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<u<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$は(1)の$b$を用いて$b\tan u=\tan {\displaystyle \frac{\theta }{2}}$を満たすとする．このとき，$f(\theta )$を$u$で表した式を$f_2(u)$とし，式$f_2(u){\displaystyle \frac{\mathit{d\theta }}{\mathit{du}}}$の値を$h$とする．$h$を求めよ．

(4)　$r$を実数とする．定積分${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}f(\theta -r)\cos \theta \mathit{d\theta }$を$a$と$r$の式で表せ．ただし，必要ならば，(3)の$h$に対して，等式${\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}f(\theta )\mathit{d\theta }=\pi h$が成り立つことを証明なしで用いてよい．