2022　同志社大　文系学部2月5日実施MathJax

【１】　次の$$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$$の中に記入せよ．

(1)　$7$個の数字$0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$5\text{，}$$6$を重複なく使って$4$桁の整数をつくる．千の位の数と百の位の数の和が$3$となる整数は$\text{ア}$通りある．隣り合う位の数の和が$3$とならない整数は$\text{イ}$通りある．また，$4$の倍数となる整数は$\text{ウ}$通りある．

【１】　次の$$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$$の中に記入せよ．

(2)　${\log }_2(x+1)$と${\log }_2(x-3)$の真数条件が同時に成り立つ$x$の範囲は$\text{エ}$である．また，不等式${\log }_2(x+1)+{\log }_2(x-3)\geqq 2$を満たす$x$の範囲は$\text{オ}$である．

【１】　次の$$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$$の中に記入せよ．

(3)　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上で，$2$点$\mathrm{A}$$(-3,2)\text{，}$$\mathrm{B}$$(5,18)$を通る直線$l$の方程式は$y=\text{カ}$である．$l$と放物線$C\text{：}y=x^2$との交点を$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$とおく．ただし，$\mathrm{P}$の$x$座標は$\mathrm{Q}$の$x$座標より小さいとする．このとき，$\mathrm{▵OPQ}$の面積は$\text{キ}$であり，$l$と$C$で囲まれた部分の面積は$\text{ク}$である．

【１】　次の$$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$$の中に記入せよ．

(4)　関数$f(x)$は，$f(x)=\left|x\right|+{\displaystyle {\int }_0^2}f(t)\mathit{dt}$を満たすとする．このとき，$A={\displaystyle {\int }_0^2}f(t)\mathit{dt}$とおくと，$A$の値が$A=\text{ケ}$と求まり，$f(x)$も求まる．また，この$f(x)$を用いた定積分$I={\displaystyle {\int }_{-3}^3}f(x)\mathit{dx}$の値は，$I=\text{コ}$と求まる．

【２】　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$とおくとき，数列$\{S_n\}$と$\{a_n\}$は条件

$a_1=2\text{，}$$a_n={\displaystyle \frac{n+1}{n-1}}{S}_{n-1}$$\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$

を満たす．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a_n$を$a_{n-1}$と$n$を用いて表すことで$\{a_n\}$の漸化式を求めよ．

(2)　数列$\{b_n\}$を$b_n={\displaystyle \frac{a_n}{n+1}}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$で定める．このとき，$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　$\{a_n\}$の一般項を求めよ．また，$\{S_n\}$の一般項を求めよ．

【３】　正の実数$p$に対して$f(x)=x^3-3px$とおき，座標平面上の曲線$y=f(x)$を$C$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$C$上の点$(t,f(t))$における$C$の接線の方程式を求めよ．

(2)　点$(-1,3)$を通る$C$の接線が，ちょうど$2$本であるとする．この条件を満たすような$p$の値をすべて求めよ．

(3)　点$(-1,3)$を通る$C$の接線が，ちょうど$3$本であるとする．それらの$3$本の接線と$C$との接点をそれぞれ$(\alpha ,f(\alpha ))\text{，}$$(\gamma ,f(\gamma ))\text{，}$$(\beta ,f(\beta ))$とおく．ただし，$\alpha <\gamma <\beta$を満たすように$\alpha \text{，}$$\gamma \text{，}$$\beta$を選ぶとする．さらに，$\gamma ={\displaystyle \frac{\alpha +\beta }{2}}$であるとする．これらの条件をすべて満たすような$p$の値を求めよ．また，そのときの$\alpha$の値を求めよ．