2022　同志社大　文，経済学部2月6日実施MathJax

【１】 　次の$$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$$の中に記入せよ．

(1)　$11$人を部屋割りする際に，部屋$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$には$3$人ずつ，部屋$\mathrm{D}$には$2$人を割り当てる方法は，$\text{ア}$通りある．また，$11$人を部屋の区別なく，$3$人，$3$人，$3$人，$2$人の$4$組に分ける方法は，$\text{イ}$通りある．

【１】　次の$$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$$の中に記入せよ．

(2)　整式$P(x)$は，$2x+1$で割ると余りが$-1$であり，$x-3$で割ると余りが$13$である．このとき，$P(x)$を$2x^2-5x-3$で割ったときの余りは$\text{ウ}$である．また，この整式$P(x)$が，$4x+1$で割り切れるような$3$次の整式であり，かつ$x^3$の係数が$1$であるとする．このとき，$P(x)$を$4x+1$で割ったときの商は$\text{エ}$である．

【１】　次の$$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$$の中に記入せよ．

(3)　数列$\{a_n\}$を$a_1=3\text{，}$$2a_{n+1}-a_n=4$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{）}$で定める．$b_n=a_n-\text{オ}$とおくと，数列$\{b_n\}$は等比数列となり，これより$\{a_n\}$の一般項は$a_n=\text{カ}$と求まる．$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とおくと，数列$\{S_n\}$の一般項は$S_n=\text{キ}$である．

【１】　次の$$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$$の中に記入せよ．

(4)　関数$y={({\log }_{0.5}x)}^2$$-{\log }_{0.5}{x}^2$$-{\log }_{0.5}x+2$は，${\displaystyle \frac{1}{16}}\leqq x\leqq 1$の範囲において，最大値は$\text{ク}$であり，$x=\text{ケ}$のとき最小値$\text{コ}$をとる．

【２】　関数$f(x)=x^2-2\left|x\right|+2$に対して，座標平面上の曲線$y=f(x)$を$C$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$C$上の点$(-2,2)$における$C$の接線を$l$とする．また，$C$の接線のうちで傾きが$2\sqrt{5}$となるものを$m$とする．このとき，$l$と$m$の方程式を求めよ．

(2)　$l$と$m$および$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【３】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に$3$点$\mathrm{A}$$(1,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,2)\text{，}$$\mathrm{P}$$(-3,0)$をとる．点$\mathrm{P}$から直線$\mathrm{AB}$に垂線$\mathrm{PQ}$を下ろす．直線$\mathrm{PQ}$と直線$\mathrm{OB}$の交点を$\mathrm{S}$とする．点$\mathrm{R}$を直線$\mathrm{PQ}$上にとり，かつ線分$\mathrm{OB}$が$\mathrm{\angle ROQ}$の二等分線となるようにする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OS}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を成分で表せ．

(3)　$\theta =\mathrm{\angle ROQ}$とおくとき，$\cos \theta$を求めよ．また，$\mathrm{▵ROQ}$の面積を求めよ．