2022　同志社大　理系学部2月7日実施MathJax

【１】　次の$$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．

(1)　最初，$3$個のさいころを同時に投げる．このとき，出る目の数の差の絶対値がすべて$2$以下である確率は$\text{ア}$である．$3$個の目がすべて異なるという事象$A$の起こる確率$P(A)$は$\text{イ}$である．$3$個のさいころのうち少なくとも$1$個は$1$の目が出るという事象を$B$とするとき，条件付き確率$P_B(A)$は$\text{ウ}$である．次に，$n$を$2$以上の自然数として，$n$個のさいころを同時に投げる．このとき，出る目の最大値が$4$であるという事象$C$の起こる確率$P(C)$は$\text{エ}$である．$n$個のさいころのうち少なくとも$1$個は$1$の目が出るという事象を$D$とするとき，条件付き確率$P_D(C)$は$\text{オ}$である．

【１】　次の$$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．

(2)　$\alpha$が無理数のとき，整数$p\text{，}$$q$が$p\alpha +q=0$を満たせば，$p=q=0$である．よって，正の整数$a\text{，}$$b$が$a+\sqrt{2}=\sqrt{b+2+b\sqrt{2}}$を満たせば，$a=\text{カ}\text{，}$$b=\text{キ}$である．次に，$c^2>d$を満たす正の整数$c\text{，}$$d$に対して，$x=\sqrt{c+\sqrt{d}}\text{，}$$y=\sqrt{c-\sqrt{d}}$とおく．$x+y=\sqrt{14+2\sqrt{5}}$のとき，$c=\text{ク}\text{，}$$d=\text{ケ}$である．このとき，${(y+2xy)}^2$を計算すると，$27-2\sqrt{11}+4\sqrt{35-10\sqrt{11}}$$={(\sqrt{n}+\sqrt{14+2\sqrt{5}}-\sqrt{7+2\sqrt{11}})}^2$を満たす正の整数$n$は$n=\text{コ}$であることがわかる．

【２】　$0\leqq a\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$を満たす実数$a$と，関数$f(x)={\displaystyle \frac{x}{1+x^2}}$に対して，定積分$I={\displaystyle {\int }_0^1}|f(x)-a|\mathit{dx}$を考える．次の問いに答えよ．

(1)　不定積分${\displaystyle \int }f(x)\mathit{dx}$を求めよ．

(2)　$0\leqq x\leqq 1$における関数$y=f(x)$の増減を調べて，$f(b)=a$となる$b$$\text{（}0\leqq b\leqq 1\text{）}$がただ$1$つ存在することを示せ．

(3)　定積分$I$を$a$を含まない$b$の式で表せ．

(4)　$a$が$0\leqq a\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$の範囲を動くとき，定積分$I$の最大値と最小値を求めよ．ただし，必要ならば，$0.6<\log 2<0.7$であることを証明なしに用いてよい．

【３】　$n$を自然数とする．座標空間内に，ベクトル$\overrightarrow{u}=(1,1,1)$に平行で原点$\mathrm{O}$を通る直線$l$と，ベクトル$\overrightarrow{v}=(2,3,-1)$に平行で点$(0,1,-3)$を通る直線$m$がある．$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots$に対して，直線$l$上の点${\mathrm{P}}_n$と，直線$m$上の点${\mathrm{Q}}_n$を次のようにそれぞれ定める．

　点${\mathrm{P}}_1$の座標は$(5,5,5)$である．点${\mathrm{P}}_n$が定まったとき，直線$m$上の点${\mathrm{Q}}_n$を条件$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_n{\mathrm{Q}}_n}\cdot \overrightarrow{v}=0$により定める．点${\mathrm{Q}}_n$が定まったとき，直線$l$上の点${\mathrm{P}}_{n+1}$を条件$\overrightarrow{{\mathrm{Q}}_n{\mathrm{P}}_{n+1}}\cdot \overrightarrow{u}=0$により定める．

点${\mathrm{P}}_n$の$x$座標を$a_n\text{，}$点${\mathrm{Q}}_n$の$x$座標を$b_n$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　条件$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_n{\mathrm{Q}}_n}\cdot \overrightarrow{v}=0$を使って，$b_n$を$a_n$を用いて表せ．

(2)　条件$\overrightarrow{{\mathrm{Q}}_n{\mathrm{P}}_{n+1}}\cdot \overrightarrow{u}=0$を使って，$a_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ．

(3)　$a_n$を$n$の式で表せ．また，$\alpha =\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n\text{，}$$\beta =\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n$とおくとき，$\alpha \text{，}$$\beta$の値を求めよ．さらに，直線$l$上の点$\mathrm{P}$と直線$m$上の点$\mathrm{Q}$の$x$座標がそれぞれ$\alpha$と$\beta$のとき，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(4)　$\mathrm{▵}{\mathrm{P}}_n{\mathrm{Q}}_n{\mathrm{P}}_{n+1}$の面積を$S_n$とし，$\mathrm{▵}{\mathrm{Q}}_n{\mathrm{P}}_{n+1}{\mathrm{Q}}_{n+1}$の面積を$T_n$とする．$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=1}^n}(S_k+T_k)$の値を求めよ．

【４】　座標平面上に曲線$C\text{：}y=e^{\frac{1}{x}}$$\text{（}x>0\text{）}$と曲線$D\text{：}y=1+\log x$$\text{（}x>0\text{）}$がある．次の問いに答えよ．

(1)　$C$上の点$\mathrm{P}$$(s,e^{\frac{1}{s}})$における$C$の接線を$l$とする．接線$l$の方程式を$s$を用いて表せ．

(2)　$D$上の点$\mathrm{Q}$$(t,1+\log t)$における$D$の接線$m$は，(1)の接線$l$と垂直に交わるとする．このとき，$t$を$s$を用いて表せ．

(3)　(1)の接線$l$の$y$切片を$u$とし，$u$を$s$の関数と考える．このとき，$s>0$において$u$は単調に減少することを示せ．さらに，$s$が$s>0$の範囲を動くとき，$u$の値域は$u>1$であることを示せ．

(3)　(3)の$s$と$u$$\text{（}u>1\text{）}$に対して，$s$を$u$の関数と考える．このとき，${\displaystyle \frac{\mathit{ds}}{\mathit{du}}}$を$s$を用いて表せ．さらに，$s$で表された(2)の$t$に対して，${\displaystyle \frac{\mathit{dt}}{\mathit{du}}}=1$となる$u$の値を求めよ．ただし，$s$が$u$の関数として微分可能であることを証明なしに用いてよい．