2022　同志社大学　理工学部2月10日実施MathJax

2022-14861-0901

2022　同志社大学　理工学部2月10日実施

易□　並□　難□

【１】　次のに適する数または式を，解答用紙の同じ記号のついたの中に記入せよ．

(1)　最初，袋 $A ，$ 袋 $B$ のどちらの袋にも，赤玉 $1$ 個と白玉 $4$ 個が入っている．「袋 $A$ と袋 $B$ からそれぞれ玉を $1$ 個無作為に取り出して，袋 $A$ から取り出した玉は袋 $B$ に入れ，袋 $B$ から取り出した玉は袋 $A$ に入れる」という試行を続けて行う． $n$ を自然数とし， $n$ 回目の試行が終わったとき，袋 $A$ に赤玉 $2$ 個と白玉 $3$ 個が入っている確率を $p_{n}$ とおく． $p_{1} = ア，$ $p_{2} = イ$ である． $p_{n + 1}$ を $p_{n}$ で表すと， $p_{n + 1} = ウ p_{n} + エ$ となる．これより， $\lim_{n \to \infty} p_{n} = オ$ である．

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【１】　次のに適する数または式を，解答用紙の同じ記号のついたの中に記入せよ．

(2)　複素数平面上で，方程式 $| z - (- 2 + 2 i) | = 2 | z - (1 - i) |$ を満たす点 $z$ 全体が描く図形を $C$ とする．ただし， $i$ は虚数単位である． $C$ は点 $カ$ を中心とする半径 $キ$ の円となる． $r$ を $r > 2$ を満たす実数とし，複素数平面上で，点 $r$ を中心とする半径 $r$ の円を $D$ とする．円 $C$ と円 $D$ の原点 $O$ 以外の交点を $A$ とし， $A$ を表す複素数を $α$ とする．三角形 $OAB$ が正三角形となる点 $B$ が円 $D$ 上にあるのは， $r = ク，$ $α = ケ$ のときである．このとき，円 $C$ の短い方の弧 $OA$ と線分 $OA$ で囲まれる図形の面積は $コ$ である．

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【２】　 $0 ≦ t ≦ 1$ を満たす実数 $t$ に対して， $x, y, z$ 空間内の点 $P$ $(2 t, 4 t, 0) ，$ $Q$ $(2 t - 2, 4 - 4 t, 0) ，$ $R$ $(t, t, 1)$ を考える．点 $U$ を，点 $R$ が線分 $UP$ の中点になるようにとる．また，点 $V$ を，点 $R$ が線分 $VQ$ の中点になるようにとる． $t$ が $0 ≦ t ≦ 1$ の範囲を動くとき，次の問いに答えよ．

(1)　 $h$ を定数とする． $2$ 点 $U ，$ $V$ がともに平面 $z = h$ 上にあるとき， $h$ を求めよ．

(2)　直線 $UV$ は， $t$ の値によらず，定点を通る．この定点の座標を求めよ．

(3)　(1)の平面上で，線分 $UV$ が通過する領域の面積を求めよ．

(4)　 $a ，$ $b$ を実数の定数として， $x, y$ 平面上の放物線 $y = a x^{2} + b$ を考える． $x, y$ 平面上で， $t$ の値によらずに直線 $PQ$ がこの放物線に接するとき， $a ，$ $b$ の値をそれぞれ求めよ．

(5)　 $x, y$ 平面上で，線分 $PQ$ が通過する領域の面積を求めよ．

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【３】　 $n$ を自然数とする． $x$ の整式 $F_{n} (x)$ を，

$F_{1} (x) = x$

(＊)　 $F_{n + 1} (x) = {(F_{n} (x))}^{2} - 2$ $(n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$

で定める．次の問いに答えよ．

(1)　 $F_{n} (2)$ の値を求めよ．また， $F_{n} (x)$ の次数を求めよ．さらに，(＊)の等式の両辺を $x$ で微分することにより， $F_{n}^{'} (2)$ を求めよ．

(2)　 $θ$ を実数とする． $F_{n} (2 \cos θ)$ を $\cos (2^{n - 1} θ)$ を用いて表せ．

(3)　 $2^{n - 1}$ 以下の自然数 $k$ に対して， $F_{n} (2 \cos (\frac{2 k - 1}{2^{n}} π))$ の値を求めよ．

(4)　 $2^{n - 1}$ 以下の自然数 $k$ に対して， $a_{k} = 2 - 2 \cos (\frac{2 k - 1}{2^{n}} π)$ とおき，積 $a_{1} a_{2} a_{3} \dots a_{2^{n - 1}}$ を $I_{n}$ とおく．このとき， $I_{n}$ の値を求めよ．ただし， $I_{1} = a_{1}$ とし， $I_{2} = a_{1} a_{2}$ とする．

(5)　(4)の $a_{k}$ に対して， $\sum_{k = 1}^{2^{n - 1}} \frac{1}{a_{k}}$ を求めよ．

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【４】　 $n$ を $3$ 以上の自然数とする．関数 $f (x) = \frac{\log x}{x}$ $（ x > 0 ）$ を考える． $a_{n} = f (n) ，$ $b_{n} = \frac{1}{2} {(\log n)}^{2} - \sum_{k = 3}^{n} a_{k}$ $（ n = 3 ，$ $4 ，$ $5 ， \dots ）$ とする．次の問いに答えよ．ただし， $\log 2 = 0.69 ，$ $\log 3 = 1.10 ，$ $\log 5 = 1.61$ とする．また，必要ならば， $\lim_{x \to \infty} f (x) = 0$ であることを証明なしに用いてよい．

(1)　 $x > 0$ における関数 $y = f (x)$ の増減およびグラフの凹凸を調べよ．

(2)　不定積分 $\int f (x) dx$ を求めよ．

(3)　 $\int_{n}^{n + 1} f (x) dx = p a_{n + 1} + q b_{n} + r b_{n + 1}$ $（ n = 3 ，$ $4 ，$ $5 ， \dots ）$ が成り立つような定数 $p ，$ $q ，$ $r$ の値をそれぞれ求めよ．

(4)　 $\int_{n}^{n + 1} f (x) dx$ と $f (n + 1)$ の大小を調べ，不等式 $b_{n + 1} > b_{n}$ が成り立つことを示せ．また，不等式 $b_{n} > 0$ が成り立つことを示せ．

(5)　 $n ≧ 5$ のとき， $2$ つの不等式 $b_{n + 1} - b_{n} < \frac{1}{2} (a_{n} - a_{n + 1})$ および $b_{n} < \frac{1}{2}$ が成り立つことを示せ．