2022　同志社大　文化情報学部2月27日実施MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$n-1<{\log }_{2}2022<n$を満たす自然数$n$を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　ベクトル$\overrightarrow{a}=(11,7)\text{，}$$\overrightarrow{b}=(-2,-3)$に対して，$|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|$を最小にする$t$の積を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　日本人の血液型について，各型の割合は，$\mathrm{A}$型が$40\mathrm{\%}\text{，}$$\mathrm{B}$型が$20\mathrm{\%}\text{，}$$\mathrm{O}$型が$30\mathrm{\%}\text{，}$$\mathrm{AB}$型が$10\mathrm{\%}$である．いま，$3$人の日本人を任意に選んだとき，$3$人の血液型がすべて異なる確率を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(4)　$0\leqq \theta <2\pi$のとき，$\sin 2\theta -\sqrt{2}\cos \theta >0$の解を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(5)　半径$3$の円$O$の内部の点$\mathrm{P}$を通る弦$\mathrm{AB}$について，$\mathrm{PA}\cdot \mathrm{PB}=6$であるとき，線分$\mathrm{OP}$の長さを求めよ．

【２】　初項$1\text{，}$公差$2$の等差数列を$\{a_n\}$とするとき，$a_i+a_j$$\text{（}i\leqq j\text{）}$を小さい順に並べた数列を$\{b_n\}$とする．ただし，同じ数が複数回現れる場合は，その回数分だけ並べることにする．このとき，次の問いに答えよ，

(1)　$b_4$および$b_{16}$を求めよ．

(2)　数$60$が現れる回数を求めよ．

(3)　数列$\{b_n\}$には，異なる$2$つの数$A\text{，}$$B$$\text{（}A<B\text{）}$がそれぞれ同じく$k$回現れる．$A\text{，}$$B$それぞれを$k$を用いて表せ．

　ここで，数列$\{b_n\}$を，同じ数を$1$つの群とみて群に分けて考える．第$l$群$\text{（}l=1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{）}$の最初の項を並べた数列を$\{c_l\}\text{，}$第$l$群の項数を並べた数列を$\{d_l\}\text{，}$第$l$群にあるすべての項の和を並べた数列を$\{S_l\}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(4)　数列$\{c_l\}$の一般項$c_l$を求めよ．

(5)　数列$\{d_l\}$の一般項$d_l$を求めよ．

(6)　数列$\{S_l\}$の一般項$S_l$を求めよ．

(7)　和${\displaystyle \sum _{n=1}^{71}}{b}_n$を求めよ．

【３】　関数$f(x)\text{，}$$g\{x)$が

$f(x\}={\displaystyle {\int }_0^x}\{2f^{\prime }(t)-g(t)\}\mathit{dt}-x+4$

$g(x)={\displaystyle {\int }_0^1}\{g^{\prime }(t)+f(t)\}\mathit{dx}-6x^2+3x$

を満たすとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f(0)$を求めよ．

(2)　$f^{\prime }(x)$を$g(0)$を用いて表せ．

(3)　$g(0)$を求めよ，

(4)　$f(x)\text{，}$$g(x)$を求めよ．