2022　気象大学校　多肢選択式問題MathJax

【１】　$\sqrt{6}\text{，}$$\sqrt{7}\text{，}$$\sqrt{13}$の小数部分をそれぞれ$a\text{，}$$b\text{，}$$c$とするとき，$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の間の大小関係として正しいのはどれか．

　なお，実数$x$の小数部分とは，$n$を$n\leqq x<n+1$を満たす整数とするとき，$x-n$の値のことをいう．

$\text{1．}a<b<c$$\text{2．}a<c<b$$\text{3．}b<a<c$$\text{4．}c<a<b$$\text{5．}c<b<a$

【２】　実数全体の集合を全体集合とし，部分集合$A\text{，}$$B$を，実数$a$を用いて

$A=\{x|x^2+2x-8\geqq 0\}$

$B=\{x|x^2-2ax+a^2-4\geqq 0\}$

とする．次の$a$の値のうち，$A\cap \bar{B}$に含まれる整数が$1$個のみとなるものはどれか．

　ただし，$\bar{B}$は$B$の補集合を表す．

$\text{1．}a=-3$$\text{2．}a=-1$$\text{3．}a=0$$\text{4．}a=1$$\text{5．}a=3$

【３】　図のような一辺の長さが$6$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$上に$\mathrm{OP}=2$となる点$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{OC}$上に$\mathrm{OQ}=2$となる点$\mathrm{Q}$をとる．このとき，$\mathrm{▵BPQ}$の面積はいくらか．

$\text{1．}2\sqrt{3}$$\text{2．}2\sqrt{5}$$\text{3．}3\sqrt{3}$$\text{4．}3\sqrt{5}$$\text{5．}4\sqrt{3}$

【４】　上面及び下面が一辺の長さ$1$の正方形で，高さが$2$の，図のような直方体において，各面を赤，青，黄，緑，白，黒の$6$色全てを用いて塗り分ける方法は何通りあるか．

　ただし，各面をいずれか$1$色のみで塗るものとし，この直方体を回転させて一致する塗り方は，$1$通りと数えるものとする．

$\text{1．}20\text{通り}$$\text{2．}30\text{通り}$$\text{3．}60\text{通り}$$\text{4．}90\text{通り}$$\text{5．}120\text{通り}$

【５】　図のように，一辺の長さが$1$の正六角形$\mathrm{ABCDEF}$とその頂点間を移動する点$\mathrm{P}$がある．点$\mathrm{P}$は，頂点$\mathrm{A}$から出発し，さいころ$1$個を投げて出た目の数だけ，左回りに移動するものとする．さいころを$2$回投げて移動した後の$\mathrm{P}$の位置が$\mathrm{A}$である確率はいくらか．

$\text{1．}{\displaystyle \frac{1}{18}}$$\text{2．}{\displaystyle \frac{1}{12}}$$\text{3．}{\displaystyle \frac{1}{9}}$$\text{4．}{\displaystyle \frac{5}{36}}$$\text{5．}{\displaystyle \frac{1}{6}}$

【６】　不定方程式$20x+21y=2021$を満たす整数の組$(x,y)$に対し，$\left|x\right|+\left|y\right|$の最小値はいくらか．

$\text{1．}91$$\text{2．}93$$\text{3．}95$$\text{4．}97$$\text{5．}99$

【７】　図のような$\mathrm{AB}=5\text{，}$$\mathrm{BC}=12$である直角三角形$\mathrm{ABC}$において，その内心を$\mathrm{I}$とし，線分$\mathrm{AI}\text{，}$$\mathrm{CI}$の長さをそれぞれ$a\text{，}$$b$とするとき，$\mathrm{\angle AIC}$の大きさと$ab$の値の組合せとして正しいのはどれか．

	$\mathrm{\angle AIC}$	$ab$
$\text{1．}$	$120\mathrm{°}$	$26$
$\text{2．}$	$120\mathrm{°}$	$26\sqrt{2}$
$\text{3．}$	$120\mathrm{°}$	$26\sqrt{3}$
$\text{4．}$	$135\mathrm{°}$	$26$
$\text{5．}$	$135\mathrm{°}$	$26\sqrt{2}$

【８】　整式$f(x)=x^3+ax+b$が${(x+2)}^2$で割り切れるように定数$a\text{，}$$b$を定めたとき，$f(-1)$の値はいくらか．

$\text{1．}-21$$\text{2．}-5$$\text{3．}3$$\text{4．}7$$\text{5．}19$

【９】　図のように，点$\mathrm{A}$$(1,0)$を通る直線は円$C\text{：}{x}^2+y^2=4$と異なる$2$点で交わる．$C$上の点$\mathrm{P}$に対し，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{P}$を通る直線と$C$との交点で$\mathrm{P}$とは異なるものを$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{P}$が$C$上を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$の中点$\mathrm{M}$の軌跡として正しいのはどれか．

$\text{1．}{x}^2+y=x$$\text{2．}|x-{\displaystyle \frac{1}{2}}|+\left|y\right|={\displaystyle \frac{1}{2}}$$\text{3．}{x}^2+y^2=x$$\text{4．}{x}^2+{\displaystyle \frac{y^2}{2}}=x$$\text{5．}{x}^2+{\displaystyle \frac{y^2}{4}}=x$

【10】　$0\leqq x\leqq \pi$のとき，$t=\sin x+\cos x$の値域と$y=2\sin x\cos x+\sin x+\cos x$の値域の組合せとして正しいのはどれか．

	$t$の値域	$y$の値域
$\text{1．}$	$-1\leqq t\leqq \sqrt{2}$	$-{\displaystyle \frac{5}{4}}\leqq y\leqq 1+\sqrt{2}$
$\text{2．}$	$-1\leqq t\leqq \sqrt{2}$	$-1\leqq y\leqq 1+\sqrt{2}$
$\text{3．}$	$-\sqrt{2}\leqq t\leqq \sqrt{2}$	$1-\sqrt{2}\leqq y\leqq 1+\sqrt{2}$
$\text{4．}$	$-\sqrt{2}\leqq t\leqq 1$	$-{\displaystyle \frac{4}{5}}\leqq y\leqq 1$
$\text{5．}$	$-\sqrt{2}\leqq t\leqq 1$	$1-\sqrt{2}\leqq y\leqq 1$

【11】　座標平面において$y=x^3-3x$のグラフを$C_1$とし，$C_1$を$x$軸方向に$1\text{，}$$y$軸方向に$1$だけ平行移動したものを$C_2$とするとき，$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積はいくらか．

　なお，必要ならば，定数$\alpha \text{，}$$\beta$に対し

${\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }}(x-\alpha )(x-\beta )\mathit{dx}=-{\displaystyle \frac{{(\alpha -\beta )}^3}{6}}$

が成り立つことを用いてよい．

$\text{1．}{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}}$$\text{2．}\sqrt{3}$$\text{3．}{\displaystyle \frac{5\sqrt{5}}{6}}$$\text{4．}{\displaystyle \frac{5\sqrt{5}}{3}}$$\text{5．}{\displaystyle \frac{5\sqrt{5}}{2}}$

【12】　数列$\{a_n\}$を$a_1=3\text{，}$$a_{n+1}=a_n+1+\sqrt{3}\tan \left({\displaystyle \frac{2n\pi }{3}}\right)$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$によって定めるとき，$a_n=2021$を満たす$n$の値はいくらか．

$\text{1．}2019$$\text{2．}2020$$\text{3．}2021$$\text{4．}2022$$\text{5．}2023$

【13】　図のような$\mathrm{AB}=2\text{，}$$\mathrm{AD}=\mathrm{AE}=1$である直方体$\mathrm{ABCD‐EFGH}$において，線分$\mathrm{BH}$と平面$\mathrm{DEG}$との交点を$\mathrm{P}$とする．このとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$の値はいくらか．

$\text{1．}-{\displaystyle \frac{1}{3}}$$\text{2．}0$$\text{3．}{\displaystyle \frac{1}{3}}$$\text{4．}{\displaystyle \frac{2}{3}}$$\text{5．}1$