2022　気象大学校　記述式問題MathJax

【１】　以下の設問に答えよ．

(1)　$0\leqq t\leqq \pi$のとき，方程式$2\cos 3t+1=0$を解け．

(2)　実数$t$に対して，$x=\cos t$とする．$\cos 3t$を$x$を用いて表せ．

(3)　(1)，(2)の結果を用いて

$\cos {\displaystyle \frac{2}{9}}\pi +\cos {\displaystyle \frac{4}{9}}\pi +\cos {\displaystyle \frac{8}{9}}\pi \text{，}$$\cos {\displaystyle \frac{2}{9}}\pi \cos {\displaystyle \frac{4}{9}}\pi +\cos {\displaystyle \frac{4}{9}}\pi \cos {\displaystyle \frac{8}{9}}\pi +\cos {\displaystyle \frac{8}{9}}\pi \cos {\displaystyle \frac{2}{9}}\pi$

の値をそれぞれ求めよ．

(4)　$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{9}}$として，数列$\{a_n\}$を

$a_1={\sin }^2\theta \text{，}$

$a_{n+1}=-4a_n(1-a_n)$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．

(ⅰ)　 $\{a_n\}$の一般項を求めよ．なお，$\theta$を用いて解答してもよい．

(ⅱ)　数列$\{b_n\}$を，$\{a_n\}$を用いて

$b_n={\displaystyle \frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．このとき，極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n$を求めよ．

【２】　点$\mathrm{O}$を中心とする半径$r$の円$C$を考える．以下の設問に答えよ．

(1)　$3$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$が$C$上を動くとき，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PR}}\leqq 4r^2$を示せ．また，等号成立条件を求めよ．

(2)　$C$上の二つの定点$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$を，$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$が同一直線上に並ばないようにとり，$C$上の点$\mathrm{P}$が，次の条件

(A)$\text{「}\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$が互いに異なり，$\mathrm{\angle QPR}$は鈍角」

を満たすように動く．線分$\mathrm{QR}$の中点を$\mathrm{M}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OM}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{PM}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{QM}}=\overrightarrow{c}\text{，}$$\left|\overrightarrow{a}\right|=t$とする．

(ⅰ)　$\left|\overrightarrow{b}\right|$の最小値を$r\text{，}$$t$を用いて表せ．

(ⅱ)　$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PR}}$を$\left|\overrightarrow{b}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{c}\right|$を用いて表せ．

(3)　$C$上の$3$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$が条件(A)を満たしながら動くとする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PR}}$の最小値を求めよ．また，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PR}}$が最小となるときの$\mathrm{▵PQR}$の面積を求めよ．

【３】　放物線$L$上を動く点$\mathrm{P}$$(x_1,y_1)$の時刻$t$における座標が

$x_1=t\text{，}$$y_1={\displaystyle \frac{1}{2}}{t}^2$

で与えられているとする．以下の設問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$の時刻$t$における速度

$\overrightarrow{v}=({\displaystyle \frac{d{x}_1}{\mathit{dt}}},{\displaystyle \frac{d{y}_1}{\mathit{dt}}})$

及び速さ$v(t)=\left|\overrightarrow{v}\right|$を求めよ．

(2)　時刻$0$から$t$までの間に点$\mathrm{P}$が動いた道のり$s$は

$s=s(t)={\displaystyle {\int }_0^t}v(u)\mathit{du}$

で与えられる．$s(t)$の逆関数$t(s)$を用いて，$t$の関数$f(t)$の$s$を媒介変数とする表示$f(t(s))$を得る．このとき，合成関数及び逆関数の微分法を用いると，$v(t)\ne 0$のとき，

${\displaystyle \frac{\mathit{df}}{\mathit{ds}}}={\displaystyle \frac{\mathit{df}}{\mathit{dt}}}{\displaystyle \frac{\mathit{dt}}{\mathit{ds}}}={\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{\mathit{ds}}{\mathit{dt}}}}}{\displaystyle \frac{\mathit{df}}{\mathit{dt}}}$$={\displaystyle \frac{1}{v(t)}}{\displaystyle \frac{\mathit{df}}{\mathit{dt}}}={\displaystyle \frac{f^{\prime }(t)}{v(t)}}$

により，$s$による$f$の微分${\displaystyle \frac{\mathit{df}}{\mathit{ds}}}$の，$t$を媒介変数とする表示が得られる．

　このことを利用して，ベクトル

$\overrightarrow{p}=({\displaystyle \frac{d{x}_1}{\mathit{ds}}},{\displaystyle \frac{d{y}_1}{\mathit{ds}}})$

を，$t$を用いて表せ．また，$\left|\overrightarrow{p}\right|=1$であること，及び，$\overrightarrow{p}$と$\overrightarrow{v}$が平行であることを示せ．

(3)　ベクトル

$\overrightarrow{q}=({\displaystyle \frac{d^2{x}_1}{{\mathit{ds}}^2}},{\displaystyle \frac{d^2{y}_1}{{\mathit{ds}}^2}})$

を，$t$を用いて表し，$\overrightarrow{q}$と$\overrightarrow{p}$が垂直であることを示せ．また，$\rho (t)={\displaystyle \frac{1}{\left|\overrightarrow{q}\right|}}$と定めるとき，$\rho (t)$を$t$を用いて表せ．

(4)　$t>0$とする．放物線$L$上の点$\mathrm{P}$における法線を$N$とし，$N$上の点$\mathrm{Q}$$(x_2,y_2)$を

$\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|=\rho (t)$かつ$x_2<x_1$

を満たすようにとる．このとき，$x_2$と$y_2$をそれぞれ$t$を用いて表せ．また，点$\mathrm{Q}$の速度

$\overrightarrow{w}=({\displaystyle \frac{d{x}_2}{\mathit{dt}}},{\displaystyle \frac{d{y}_2}{\mathit{dt}}})$

を，$t$を用いて表し，$\overrightarrow{w}$と$\overrightarrow{v}$が垂直であることを示せ．

(5)　点$\mathrm{P}$が$t>0$の範囲で放物線$L$上を動くときの点$\mathrm{Q}$の軌跡$C$を求め，$L$の$x>0$の部分と$C$を座標平面上に図示せよ．

　ただし，点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$と法線$N$の関係が分かるように，適当な点$\mathrm{P}$を選び，対応する点$\mathrm{Q}\text{，}$法線$N$も併せて図中に示すこと．