2023　上智大学　TEAP文系2月3日実施MathJax

【１】　関数

$y=2({\sin }^{3}x+{\cos }^{3}x)$$+8\sin x\cos x+5$$\text{（}0\leqq x<2\pi \text{）}$

を考える．$\sin x+\cos x=t$とおく．

(1)　$y$を$t$の式で表すと

$y=\text{ア}{t}^3+\text{イ}{t}^2$$+\text{ウ}t+\text{エ}$

である．

(2)　関数$y$は$t={\displaystyle \frac{\text{オ}}{\text{カ}}}$において最小値${\displaystyle \frac{\text{キ}}{\text{ク}}}$をとる．

(3)　関数$y$は$x={\displaystyle \frac{\text{ケ}}{\text{コ}}}\pi$において最大値$\text{サ}+\sqrt{\text{シ}}$をとる．

【２】　図のような一辺の長さが$1$の正八面体$\mathrm{ABCDEF}$がある．$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$はそれぞれ辺$\mathrm{AD}\text{，}$$\mathrm{BC}$上にあり

$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\perp \overrightarrow{\mathrm{AD}}$かつ$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\perp \overrightarrow{\mathrm{BC}}$

を満たすとする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$のなす角は${\displaystyle \frac{\text{ス}}{\text{セ}}}\pi$である．

(2)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|={\displaystyle \frac{\text{ソ}}{\text{タ}}}\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{BQ}}\right|={\displaystyle \frac{\text{チ}}{\text{ツ}}}$である．

(3)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|={\displaystyle \frac{\text{テ}}{\text{ト}}}\sqrt{\text{ナ}}$である．

(4)　平面$\mathrm{EPQ}$と直線$\mathrm{BF}$の交点を$\mathrm{R}$とすると，

$\left|\overrightarrow{\mathrm{BR}}\right|={\displaystyle \frac{\text{ニ}}{\text{ヌ}}}$

である．

【３】　ある病原菌には$\mathrm{A}$型．$\mathrm{B}$型の$2$つの型があり，$\mathrm{A}$型と$\mathrm{B}$型に同時に感染することはない．その病原菌に対して，感染しているかどうかを調べる検査$\mathrm{Y}$がある．検査結果は陽性か陰性のいずれかで，陽性であったときに病原菌の型までは判別できないものとする．検査$\mathrm{Y}$で，$\mathrm{A}$型の病原菌に感染しているのに陰性と判定される確率が$10\mathrm{\%}$であり，$\mathrm{B}$型の病原菌に感染しているのに陰性と判定される確率が$20\mathrm{\%}$である．また，この病原菌に感染していないのに陽性と判定される確率が$10\mathrm{\%}$である．

　全体の$1\mathrm{\%}$が$\mathrm{A}$型に感染しており全体の$4\mathrm{\%}$が$\mathrm{B}$型に感染している集団から$1$人を選び検査$\mathrm{Y}$を実施する．

(1)　検査$\mathrm{Y}$で陽性と判定される確率は${\displaystyle \frac{\text{ネ}}{\text{ノ}}}$である．

(2)　検査$\mathrm{Y}$で陽性だったときに，$\mathrm{A}$型に感染している確率は${\displaystyle \frac{\text{ハ}}{\text{ヒ}}}$であり$\mathrm{B}$型に感染している確率は${\displaystyle \frac{\text{フ}}{\text{ヘ}}}$である．

(3)　$1$回目の検査$\mathrm{Y}$に加えて，その直後に同じ検査$\mathrm{Y}$をもう一度行う．ただし，$1$回目と$2$回目の検査結果は互いに独立であるとする．$2$回の検査結果が共に陽性だったときに，$\mathrm{A}$型に感染している確率は${\displaystyle \frac{\text{ホ}}{\text{マ}}}$であり$\mathrm{B}$型に感染している確率は${\displaystyle \frac{\text{ミ}}{\text{ム}}}$である．

【４】(1)　実数$x\text{，}$$y$に対する次の$2$つの条件$p\text{，}$$q$を考える．ただし，$r$は正の定数である．

$p\text{：}|x+y|\leqq 3$かつ$|x-y|\leqq 3$

$q\text{：}{(x-1)}^2+{(y-1)}^2\leqq r^2$

(ⅰ)　命題$\text{「}p$ならば$q\text{」}$が真となるような$r$の最小値は$\sqrt{\text{メ}}$である．

(ⅱ)　命題$\text{「}q$ならば$p\text{」}$が真となるような$r$の最大値は${\displaystyle \frac{\text{モ}}{\text{ヤ}}}\sqrt{\text{ユ}}$である．

【４】

(2)　$2$つの集合

$A=\{n|n\text{は}3\text{で割ると}2\text{余る自然数である}\}$

$B=\{n|n\text{は}5\text{で割ると}3\text{余る自然数である}\}$

を考える．$A\cap B$の要素を小さい順に並べて作った数列の第$k$項は

$\text{ヨ}k+\text{ラ}$

である．また，$A\cup B$の要素を小さい順に並べて作った数列の第$100$項は$\text{リ}$である．

【４】

(3)　$a$を定数とする．座標平面上の直線$y=2ax+{\displaystyle \frac{1}{4}}$と放物線$y=x^2$の$2$つの交点を${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2$とする．$a$が$0\leqq a\leqq 1$の範囲を動くとき，線分${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$の通過する部分の面積は${\displaystyle \frac{\text{ル}}{\text{レ}}}$である．