2023　上智大学　TEAP理系2月3日実施MathJax

【１】(1)　$44311$と$43873$との最大公約数は$\text{ア}$である．

【１】(2)　${(2\cdot 7\cdot 11\cdot 13)}^{20}$の桁数は$\text{イ}$である．

【１】(3)　$a_1=0\text{，}$$b_1=6$とし，

$a_{n+1}={\displaystyle \frac{a_n+b_n}{2}}\text{，}$$b_{n+1}=a_n$$\text{（}n\geqq 1\text{）}$

で定まる$a_n\text{，}$$b_n$を用いて，平面上の点${\mathrm{P}}_n$$(a_n,b_n)$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$を定める．

(ⅰ)　点${\mathrm{P}}_n$は常に直線$y=\text{ウ}x+\text{エ}$上にある．

(ⅱ)　$n$を限りなく大きくするとき，点${\mathrm{P}}_n$は点$(\text{オ},\text{カ})$に限りなく近づく．

【２】　一辺の長さが$2$である立方体$\mathrm{OADB‐CFGE}$を考える．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．辺$\mathrm{AF}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$辺$\mathrm{BD}$の中点を$\mathrm{N}$とし，$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{N}$を通る平面$\pi$で立方体を切断する．

(1)　平面$\pi$は辺$\mathrm{AF}\text{，}$$\mathrm{BD}$以外に辺$\text{あ}$とその両端以外で交わる．ただし，$\text{あ}$には，立方体の頂点の中から，辺の両端の$2$頂点をマークして答えよ．

(2)　平面$\pi$と辺$\text{あ}$との交点を$\mathrm{P}$とする．

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\text{い}\overrightarrow{a}+\text{う}\overrightarrow{b}+\text{え}\overrightarrow{c}$

である．

(3)　断面の面積は${\displaystyle \frac{\text{キ}}{\text{ク}}}\sqrt{\text{ケ}}$である．

(4)　切断されてできる立体のうち，頂点$\mathrm{A}$を含むものの体積は${\displaystyle \frac{\text{コ}}{\text{サ}}}$である．

(5)　平面$\pi$と線分$\mathrm{CD}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．

(ⅰ)　点$\mathrm{Q}$は線分$\mathrm{CD}$を$\text{お}$に内分する．

(ⅱ)

$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\text{か}\overrightarrow{a}+\text{き}\overrightarrow{b}+\text{ク}\overrightarrow{c}$

である．

【３】　$\pi$を円周率とする．$f(x)=x^2(x^2-1)$とし，$f(x)$の最小値を$m$とする．

(1)　$m={\displaystyle \frac{\text{シ}}{\text{ス}}}$である．

(2)　$y=f(x)$で表される曲線を$y$軸の周りに$1$回転させてできる曲面でできた器に，$y$軸上方から静かに水を注ぐ．

(ⅰ)　水面が$y=a$（ただし$m\leqq a\leqq 0\text{）}$のときの水面の面積は$\alpha$である．（あてはまる数式を解答欄に記述せよ．）

(ⅱ)　水面が$y=0$になったときの水の体積は${\displaystyle \frac{\text{セ}}{\text{ソ}}}\pi$である．

(ⅲ)　上方から注ぐ水が単位時間あたり一定量であるとする．水面が$y=0$に達するまでは，水面の面積は，水を注ぎ始めてからの時間の${\displaystyle \frac{\text{タ}}{\text{チ}}}$乗に比例して大きくなる．

(ⅳ)　水面が$y=2$になったときの水面の面積は$\text{ツ}\pi$であり，水の体積は${\displaystyle \frac{\text{テ}}{\text{ト}}}\pi$である．

【４】　$e$を自然対数の底とする．$e=2.718\cdots$である．

(1)　$0\leqq x\leqq 1$において不等式

$1+x\leqq e^x\leqq 1+2x$

が成り立つことを示せ．

(2)　$n$を自然数とするとき，$0\leqq x\leqq 1$において，不等式

${\displaystyle \sum _{k=0}^n}{\displaystyle \frac{x^k}{k!}}\leqq e^x\leqq {\displaystyle \sum _{k=0}^n}{\displaystyle \frac{x^k}{k!}}+{\displaystyle \frac{x^n}{n!}}$

が成り立つことを示せ．

(3)　$0\leqq x\leqq 1$を定義域とする関数$f(x)$を

$f(x)=\{\begin{array}{ll}1\text{，}& x=0\\ {\displaystyle \frac{e^x-1}{x}}\text{，}& 0<x\leqq 1\end{array}$

と定義する．(2)の不等式を利用して，定積分${\displaystyle {\int }_0^1}f(x)\mathit{dx}$の近似値を小数第$3$位まで求め，求めた近似値と真の値との誤差が${10}^{-3}$以下である理由を説明せよ．