2023　上智大学　経済学部2月5日実施MathJax

【１】(1)　厚さ$0.09\mathrm{mm}$の紙を三つ折りで$1$回折りたたむと元の厚さの$3$倍になる．折りたたんだ紙の厚さが初めて$10000\mathrm{m}$を超えるのは三つ折りで$\text{ア}$回折りたたんだときである．ただし，紙は何回でも折りたためるものとし，${\log }_{10}3=0.4771$とする．

【 １】(2)　$\theta$の方程式${\cos }^2\theta +(a+3)\sin \theta -a^2-1=0$が，解をもつような定数$a$の値の範囲は$\text{イ}\leqq a\leqq \text{ウ}$である．

【１】(3)　${12}^3$のすべての正の約数の和は$\text{あ}$である．記述式解答欄$\text{あ}$に答えのみを記せ．

【１】(4)　平方数とは自然数の$2$乗で表される数である．$1\text{，}$$4\text{，}$$9\text{，}$$16\text{，}\cdots$は平方数である．

　$x$を自然数とする．$x$以下の平方数のうち$5$で割ると余りが$j$となるものの個数を$N(x,j)$と表す．例えば，$N(10,0)=0\text{，}$$N(10,1)=1\text{，}$$N(10,2)=0\text{，}$$N(10,3)=0\text{，}$$N(10,4)=2$である．

(ⅰ)　$N(1000,0)=\text{エ}\text{，}$$N(1000,2)=\text{オ}$である．

(ⅱ)　$N(x,1)=3$を満たす最大の$x$は$\text{カ}$である．

【２】　$a$を実数とする．関数

$f(x)={\displaystyle \frac{a+1}{2}}{x}^4-a^2{x}^3$$-a^2(a+1)x^2+3a^{4}x$

について考える．

(1)　$f^{\prime }(a)=\text{キ}$であり，$f^{\prime }(-a)=\text{ク}$である．

(2)　$y=f(x)$は，$a=\text{ケ}$のとき，極値をとる$x$の値がちょうど$2$つとなり，$a={\displaystyle \frac{\text{コ}}{\text{サ}}}\text{，}$$\text{シ}\text{，}$$\text{ス}$のとき，極値をとる$x$の値がただ$1$つとなる．ただし，${\displaystyle \frac{\text{コ}}{\text{サ}}}<\text{シ}<\text{ス}$とする．

(3)　$a=\text{ケ}$のとき，$x=\text{セ}$で極大値$\text{ソ}\text{，}$$x=\text{タ}$で極小値$\text{チ}$をとる．

(4)　$a=1$とする．点$(-1,f(-1))$を通り，$y=f(x)$のグラフに接する直線は$3$本あり，それぞれ，$x=\text{ツ}\text{，}$$\text{テ}\text{，}$${\displaystyle \frac{\text{ト}}{\text{ナ}}}$で$y=f(x)$と接する．ただし，$\text{ツ}<\text{テ}<{\displaystyle \frac{\text{ト}}{\text{ナ}}}$とする．

【３】　点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円に内接する正五角形$\mathrm{ABCDE}$において，線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{F}\text{，}$直線$\mathrm{BE}$と直線$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{G}\text{，}$直線$\mathrm{AC}$と直線$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{H}$とする．

(1)　$\mathrm{\angle ADB}={\displaystyle \frac{\text{ニ}}{\text{ヌ}}}\pi \text{，}$$\mathrm{\angle BAC}={\displaystyle \frac{\text{ネ}}{\text{ノ}}}\pi \text{，}$$\mathrm{\angle AHB}={\displaystyle \frac{\text{ハ}}{\text{ヒ}}}\pi$である．

(2)　三角形$\mathrm{ABD}$と三角形$\mathrm{ABH}$を比較すると，$\mathrm{AB}:\mathrm{BD}=({\displaystyle \frac{\text{フ}}{\text{ヘ}}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{\text{ホ}}}{\text{マ}}}):1$である．

(3)　$\mathrm{\angle FAG}=\theta$とおくと$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\text{ミ}}{\text{ム}}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{\text{メ}}}{\text{モ}}}$である．

(4)　$\mathrm{FG}=\text{い}$である．記述式解答欄$\text{い}$に答えのみを記せ．