2023　上智大学　理工学部2月7日実施MathJax

【１】(1)　次の$6$つの複素数が$1$つずつ書かれた$6$枚のカードがある．

${\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}$$\cos {\displaystyle \frac{\pi }{6}}+i\sin {\displaystyle \frac{\pi }{6}}\text{，}$$\cos {\displaystyle \frac{\pi }{3}}+i\sin {\displaystyle \frac{\pi }{3}}\text{，}$$\cos {\displaystyle \frac{\pi }{2}}+i\sin {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

これらから無作為に$3$枚選び，カードに書かれた$3$つの複素数を掛けた値に対応する複素数平面上の点を$\mathrm{P}$とする．

(ⅰ)　点$\mathrm{P}$が虚軸上にある確率は${\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}}}$である．

(ⅱ)　点$\mathrm{P}$の原点からの距離が$1$である確率は${\displaystyle \frac{\text{ウ}}{\text{エ}}}$である．

【１】(2)　$\{x|x>0\}$を定義域とする関数$f(x)$の集合$A$に対する以下の$3$つの条件を考える．

(P)　関数$f(x)$と$g(x)$が共に$A$の要素ならば，関数$f(x)+g(x)$も$A$の要素である

(Q)　関数$f(x)$と$g(x)$が共に$A$の要素ならば，関数$f(x)g(x)$も$A$の要素である

(R)　$\alpha$が$0$でない定数で関数$f(x)$が$A$の要素ならば，関数$\alpha f(x)$も$A$の要素である

$A$を以下の(ⅰ)〜(ⅳ)の集合とするとき，条件(P)，(Q)，(R)のうち成り立つものをすべて解答欄にマークせよ．ただし，成り立つものが一つもないときには，解答欄の$\mathrm{z}$をマークせよ．

(ⅰ)　$f(1)=0$を満たす関数$f(x)$全体の集合

(ⅱ)　$f(a)=0$となる正の実数$a$が存在する関数$f(x)$全体の集合

(ⅲ)　全ての正の実数$x$に対して$f(x)>0$が成り立つ関数$f(x)$全体の集合

(ⅳ)　定義域$\{x|x>0\}$のどこかで連続でない関数$f(x)$全体の集合

【１】(3)　一辺の長さが$2$である正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{N}$とする．

(ⅰ)　線分$\mathrm{MN}$の長さは$\text{あ}$である．

(ⅱ)　$0<s<1$とし，線分$\mathrm{MN}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．$\mathrm{P}$を通り$\mathrm{MN}$に垂直な平面で正四面体$\mathrm{OABC}$を切った断面は$\text{い}$であり，その面積は$\text{う}$である．

【２】　関数$f(x)=\sin x$$(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$の逆関数を$g(x)$とする．

(1)　関数$g(x)$の定義域は$\text{え}$である．

(2)　$y=g(x)$の$x={\displaystyle \frac{4}{5}}$における接線の傾きは${\displaystyle \frac{\text{オ}}{\text{カ}}}$である．

(3)

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{1}{2}}}g(x)\mathit{dx}={\displaystyle \frac{\pi }{\text{キ}}}+\text{ク}+{\displaystyle \frac{\text{ケ}}{\text{コ}}}\sqrt{\text{サ}}$

である．

(4)　$y=g(x)$のグラフと$x=1$および$x$軸で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積は

${\displaystyle \frac{{\pi }^a}{\text{シ}}}+\text{ス}\pi \text{，}$ただし$a=\text{セ}$

である．

【３】　$e$を自然対数の底とする．自然数$n$に対して，

$S_n={\displaystyle {\int }_1^e}{(\log x)}^n\mathit{dx}$

とする．

(1)　$S_1$の値を求めよ．

(2)　すべての自然数$n$に対して，

$S_n=a_{n}e+b_n\text{，}$ただし$a_n\text{，}$$b_n$はいずれも整数

と表せることを証明せよ．