2023　上智大学　推薦理工学部MathJax

【１】(1)　$m\text{，}$$n$を自然数とする．

${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}\cos mx\cos nx\mathit{dx}$

の値を求めよ．

(2)　$N$を自然数とする．

${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{(1+{\displaystyle \sum _{k=1}^N}{\displaystyle \frac{\cos (kx)}{2^k}})}^2\mathit{dx}}$

の値を求めよ．

【２】　以下，$n$を自然数とする．

(1)　$n$個の$0$と$n$個の$1$を左から右に$1$列に並べ，$2n$個の$0$と$1$が並んだ数列を考える．このとき，数列の左から$k$番目のところまで左から数えた$0$の個数を$X_k\text{，}$左から数えた$1$の個数を$Y_k$とする．例えば，$n=3$のとき数列$001011$において$X_3=2\text{，}$$Y_3=1\text{，}$$X_4=3\text{，}$$Y_4=1\text{，}$$X_5=3\text{，}$$Y_5=2$である．このとき，次の条件

(＊)　$1\leqq k\leqq 2n$である全ての$k$に対して$X_k\geqq Y_k$となる

を満たす数列の総数を$A_n$とする．$n=2$のとき，条件(＊)を満たす数列は$0011\text{，}$$0101$の$2$個のみなので$A_2=2$となる．

(ⅰ)　$n=4$の数列$00101101$について$X_5\text{，}$$Y_5\text{，}$$X_6\text{，}$$Y_6$を求めよ．

(ⅱ)　$A_3=5$である．$n=3$で条件(＊)を満たすもののうち，$000111\text{，}$$001011\text{，}$$010101$以外の$2$つの数列を書き出せ．

(ⅲ)　$n=4$のとき，条件(＊)を満たすすべての数列を書き出し，$A_4$を求めよ．

(2)　縦$2$マス横$n$マスの長方形のマス目を考える．例えば，$n=5$の場合は，右のようなマス目である．

　各マス目に$1\text{〜}$$2n$の自然数を$1$つずつ書き込む．上のマス目の数字が下のマス目の数字より小さく，また，左のマス目の数字が右のマス目の数字より小さくなるような書き込み方の総数を$B_n$とする．$n=2$のとき，の$2$通りがあるので，$B_2=2$となる．

(ⅰ)　$B_3=5$である．，，以外の$2$つを書き出せ．

(ⅱ)　$n=4$のとき，すべての書き込み方を書き出し，$B_4$を求めよ．

(3)　(1)の$A_n$と(2)の$B_n$について，すべての自然数$n$に対して$A_n=B_n$となる．その理由を説明せよ．