2023　東京理科大学　創域理工学部B方式2月3日実施MathJax

【１】　次の文章中の$\text{ア}$から$\text{お}$までに当てはまる数字$0\text{〜}$$9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，分数は既約分数として表しなさい．なお，$\text{ヌ}$などは既出の$\text{ヌ}$などを表す．

(1)(a)　$1$個のさいころを$4$回続けて投げるとき，$4$回とも同じ目が出る確率は${\displaystyle \frac{1}{\text{ア}\text{イ}\text{ウ}}}$であり，$3\text{，}$$4\text{，}$$5\text{，}$$6$の目がそれぞれ$1$回ずつ出る確率は${\displaystyle \frac{1}{\text{エ}\text{オ}}}$である．

(b)　$1$個のさいころを$4$回続けて投げて，出た目を順に左から並べて$4$桁の整数$N$を作る．例えば，$1$回目に$2\text{，}$$2$回目に$6\text{，}$$3$回目に$1\text{，}$$4$回目に$2$の目が出た場合は$N=2612$である．$N$が偶数となる確率は${\displaystyle \frac{1}{\text{カ}}}$であり，$N\geqq 2023$となる確率は${\displaystyle \frac{\text{キ}}{\text{ク}}}$であり，$N\geqq 5555$となる確率は${\displaystyle \frac{\text{ケ}\text{コ}}{\text{サ}\text{シ}\text{ス}}}$である．

【１】　次の文章中の$\text{ア}$から$\text{お}$までに当てはまる数字$0\text{〜}$$9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，分数は既約分数として表しなさい．なお，$\text{ヌ}$などは既出の$\text{ヌ}$などを表す．

(2)　$A\text{，}$$B\text{，}$$C\text{，}$$D$を定数とする．$f(x)=2x^3-9x^2+Ax+B\text{，}$$g(x)=x^2-Cx-D$とおく．以下の問いに答えよ．

(a)　$g(1-\sqrt{2})=0$かつ$g(1+\sqrt{2})=0$のとき，$C=\text{セ}\text{，}$$D=\text{ソ}$である．また，$f(1-\sqrt{2})=0$かつ$f(1+\sqrt{2})=0$のとき，$A=\text{タ}\text{，}$$B=\text{チ}$であり，方程式$f(x)=0$を満たす有理数$x$は

$x={\displaystyle \frac{\text{ツ}}{\text{テ}}}$

である．

(b)　$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$は

$f^{\prime }(x)=\text{ト}{x}^2-\text{ナ}\text{ニ}x+A$

であり，方程式$f^{\prime }(x)=0$が実数解をもつような$A$の値の範囲は

$A\leqq {\displaystyle \frac{\text{ヌ}\text{ネ}}{\text{ノ}}}$

である．$A={\displaystyle \frac{\text{ヌ}\text{ネ}}{\text{ノ}}}\text{，}$$B={\displaystyle \frac{1}{4}}$のときには，

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{\text{ハ}}}{(2x-\text{ヒ})}^3+\text{フ}$

と表すことができる．

【１】　次の文章中の$\text{ア}$から$\text{お}$までに当てはまる数字$0\text{〜}$$9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，分数は既約分数として表しなさい．なお，$\text{ヌ}$などは既出の$\text{ヌ}$などを表す．

(3)　数列$\{a_n\}$は，$a_1={\displaystyle \frac{7}{5}}\text{，}$$n$が偶数のときは$a_{n+1}={\displaystyle \frac{1+a_n}{2}}\text{，}$$n$が奇数のときは$a_{n+1}={\displaystyle \frac{2+a_n}{2}}$を満たすとする．このとき，

$a_2={\displaystyle \frac{\text{ヘ}\text{ホ}}{\text{マ}\text{ミ}}}\text{，}$$a_3={\displaystyle \frac{\text{ム}\text{メ}}{\text{モ}\text{ヤ}}}$

である．さらに，自然数$k$に対して

$a_{2k+1}=\text{ユ}+{\displaystyle \frac{\text{ヨ}}{\text{ラ}}}{a}_{2k-1}$

となる．これを

$a_{2k+1}-{\displaystyle \frac{\text{リ}}{\text{ル}}}={\displaystyle \frac{\text{レ}}{\text{ロ}}}(a_{2k+1}-{\displaystyle \frac{\text{リ}}{\text{ル}}})$

と変形することにより

$a_{2k-1}={\displaystyle \frac{1}{\text{ワ}\text{ヨ}}}{\left({\displaystyle \frac{\text{レ}}{\text{ロ}}}\right)}^{k-1}+{\displaystyle \frac{\text{リ}}{\text{ル}}}$

が得られる．また，

$a_{2k}={\displaystyle \frac{1}{\text{ン}\text{あ}}}{\left({\displaystyle \frac{\text{い}}{\text{う}}}\right)}^{k-1}+{\displaystyle \frac{\text{え}}{\text{お}}}$

も得られる．

【２】　座標平面上に点$\mathrm{A}$$(2,0)$と点$\mathrm{B}$$(0,1)$がある．正の実数$t$に対して，$x$軸上の点$\mathrm{P}$$(2+t,0)$と$y$軸上の点$\mathrm{Q}$$(0,1+{\displaystyle \frac{1}{t}})$を考える．

(1)　直線$\mathrm{AQ}$の方程式を，$t$を用いて表せ．

(2)　直線$\mathrm{BP}$の方程式を，$t$を用いて表せ．

　直線$\mathrm{AQ}$と直線$\mathrm{BP}$の交点を$\mathrm{R}$$(u,v)$とする．

(3)　$u$と$v$を，$t$を用いて表せ．

(4)　$t>0$の範囲で，$u+v$の値を最大にする$t$の値を求めよ．

【３】　座標平面上で，曲線$y=\sqrt{5}\log x$$\text{（}x>0\text{）}$を$C$とし，$C$上に点$\mathrm{A}$$(a,\sqrt{5}\log a)$$\text{（}a>0\text{）}$をとる．ただし，$\log$は自然対数とする．点$\mathrm{A}$における$C$の接線を$l$とし，$l$と$y$軸の交点を$\mathrm{Q}$$(0,q)$とする．また，点$\mathrm{A}$における$C$の法線を$m$とし，$m$と$y$軸の交点を$\mathrm{R}$$(0,r)$とする．

(1)　$q$を，$a$を用いて表せ．

(2)　$r$を，$a$を用いて表せ．

(3)　線分$\mathrm{QR}$の長さが$3\sqrt{5}$となるような$a$の値を求めよ．

(4)　$\mathrm{\angle ARQ}={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$となるような$a$の値を求めよ．

(5)　$a=e^2$とする．このとき，$x$軸，曲線$C$および直線$l$で囲まれた部分の面積を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底である．