2023　東京理科大学　創域理工学部B方式2月3日実施MathJax

【１】　次の文章中の$\text{ア}$から$\text{ル}$までに当てはまる数字$0\text{〜}9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，分数は既約分数として表しなさい．

(1)　方程式

$34x+22y=2$$\cdots \text{①}$

を満たす整数$x\text{，}$$y$の組を$\text{①}$の整数解という．

(a)　$\text{①}$の整数解のうち，$\left|x\right|$が最小となるのは$x=\text{ア}\text{，}$$y=-\text{イ}$である．

(b)　$\text{①}$の整数解のうち，$\left|y\right|$が$2$番目に小さいのは$x=-\text{ウ}\text{，}$$y=\text{エ}\text{オ}$であり，$\left|y\right|$が$3$番目に小さいのは$x=\text{カ}\text{キ}\text{，}$$y=-\text{ク}\text{ケ}$である．

【１】　次の文章中の$\text{ア}$から$\text{ル}$までに当てはまる数字$0\text{〜}9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，分数は既約分数として表しなさい．

(2)　$1$個のさいころを$2$回続けて投げるとき，$1$回目に出た目を$a\text{，}$$2$回目に出た目を$b$とおく．

(a)　座標平面上の点$\mathrm{A}$$(1,a)$と点$\mathrm{B}$$(2,b)$を通る直線を$l$とする．直線$l$の$y$切片が$2$以上となる確率は${\displaystyle \frac{\text{コ}}{\text{サ}}}$であり，直線$l$の傾きが$1$以下となる確率は${\displaystyle \frac{\text{シ}\text{ス}}{\text{セ}\text{ソ}}}$である．また，直線$l$が原点を通る確率は${\displaystyle \frac{\text{タ}}{\text{チ}\text{ツ}}}$である．

(b)　$x\geqq 0$に対して，関数$f(x)$を

$f(x)={\displaystyle \frac{2bx}{x^2+a^2}}$

で定める．$f(x)$の極大値が$1$以上となる確率は${\displaystyle \frac{\text{テ}}{\text{ト}\text{ナ}}}$である．

【１】　次の文章中の$\text{ア}$から$\text{ル}$までに当てはまる数字$0\text{〜}9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，分数は既約分数として表しなさい．

(3)　座標空間において，$4$点$(1,3,3)\text{，}$$(1,7,-1)\text{，}$$(0,4,3)\text{，}$$(0,3,0)$を通る球面は

$x^2+y^2+z^2$$-\text{ニ}x$$-\text{ヌ}\text{ネ}y$$-\text{ノ}z+\text{ハ}\text{ヒ}=0$

と表せる．この球面を$S$とおく．$S$の中心は点$(\text{フ},\text{ヘ},\text{ホ})$であり，$S$の半径は$\text{マ}$である．

　$S$が平面$z=3$と交わってできる円は

${(x-\text{ミ})}^2+{(y-\text{ム})}^2=\text{メ}\text{，}$$z=3$

と表せる．この円を$C$とおく．平面$z=3$と交わってできる円が$C$と一致する球面のうち，$zx$平面と接し，中心の$z$座標が正となるものは

${(x-\text{モ})}^2+{(y-\text{ヤ})}^2$$+{(z-(\text{ユ}+\text{ヨ}\sqrt{\text{ラ}}))}^2=\text{リ}\text{ル}$

と表せる．

【２】　座標平面上の直線$y=-x+3$を$l_1\text{，}$直線$y=2x$を$l_2$とおく．点$\mathrm{Q}$に対して，$\mathrm{Q}$を通り$x$軸と平行な直線を$h(\mathrm{Q})\text{，}$$\mathrm{Q}$を通り$y$軸と平行な直線を$v(\mathrm{Q})$と表す．点${\mathrm{P}}_n$$\text{（}n=0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{）}$を以下のように定める．

${\mathrm{P}}_0$を点$({\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{8}{3}})$と定める．

$n$が奇数のとき，$h({\mathrm{P}}_{n-1})$と$l_2$の交点を${\mathrm{P}}_n$と定める．

$n$が$2$以上の偶数のとき，$v({\mathrm{P}}_{n-1})$と$l_1$の交点を${\mathrm{P}}_n$と定める．

(1)　${\mathrm{P}}_3$の座標を求めよ．

(2)　${\mathrm{P}}_n$の座標を$(x_n,y_n)$とおく．$0$以上の整数$k$に対して$x_{2k+1}$と$y_{2k}$を，$k$を用いて表せ．

　線分${\mathrm{P}}_n{\mathrm{P}}_{n+1}$の長さを$L_n$とおく．

(3)　$0$以上の整数$k$に対して$L_{2k}$を，$k$を用いて表せ．

(4)　$0$以上の整数$k$に対して$L_{2k+1}$を，$k$を用いて表せ．

(5)　自然数$N$に対して$M_N={\displaystyle \sum _{k=0}^N}{L}_{2k}{L}_{2k+1}$とおく．$M_N$を，$N$を用いて表せ．さらに，$\underset{N\to \infty }{\lim }{M}_N$を求めよ．

【３】　$k>0\text{，}$$m>0$とし，$x\geqq 0$に対して

$f(x)=e^{kx}\text{，}$$g(x)=\sqrt{mx}$

とおく．ただし，$e$は自然対数の底とする．さらに，座標平面上の曲線$y=f(x)$$\text{（}x\geqq 0\text{）}$を$C_1\text{，}$曲線$y=g(x)$$\text{（}x\geqq 0\text{）}$を$C_2$とおく．以下，$a>0$とする．

(1)　点$(a,f(a))$における曲線$C_1$の接線の方程式を，$a$と$k$を用いて表せ．

(2)　点$(a,g(a))$における曲線$C_2$の接線の方程式を，$a$と$m$を用いて表せ．

　以下，曲線$C_1\text{，}$$C_2$がある点$\mathrm{P}$を共有し，$\mathrm{P}$における$C_1$と$C_2$の接線が一致するとする．

(3)　点$\mathrm{P}$の$x$座標を$b$とするとき，$b$と$m$を，$k$を用いて表せ．

(4)　曲線$C_1\text{，}$$C_2$および$y$軸で囲まれた図形の面積を，$k$を用いて表せ．