2023　東京理科大学　理学部B方式2月5日実施MathJax

【１】　次の(1)から(3)において，$$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートにマークせよ．ただし，$$は$2$桁の数を表すものとし，分数は既約分数の形に表すものとする．また，根号を含む解答では，根号の中に現れる自然数は最小になる形で答えなさい．なお，同一の問題文中に$\text{ア}$などが$2$度以上現れる場合，$2$度目以降は$\text{ア}$のように網掛けで表記する．

(1)　$\mathrm{AB}$の長さが$3\text{，}$$\mathrm{AC}$の長さが$5$である三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の中心を$\mathrm{O}$とするとき，以下が成り立つ．

(a)　$\mathrm{\angle BAC}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AO}}={\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AO}}={\displaystyle \frac{\text{ウ}\text{エ}}{\text{オ}}}$であり，$\overrightarrow{\mathrm{AO}}={\displaystyle \frac{\text{カ}}{\text{キ}}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+{\displaystyle \frac{\text{ク}}{\text{ケ}\text{コ}}}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$である．

(b)　$\mathrm{BC}$の長さが$7$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AO}}={\displaystyle \frac{\text{サ}}{\text{シ}}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AO}}={\displaystyle \frac{\text{ス}\text{セ}}{\text{ソ}}}$であり，$\overrightarrow{\mathrm{AO}}={\displaystyle \frac{\text{タ}\text{チ}}{\text{ツ}}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+{\displaystyle \frac{\text{テ}\text{ト}}{\text{ナ}\text{ニ}}}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$である．

【１】　次の(1)から(3)において，$$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートにマークせよ．ただし，$$は$2$桁の数を表すものとし，分数は既約分数の形に表すものとする．また，根号を含む解答では，根号の中に現れる自然数は最小になる形で答えなさい．なお，同一の問題文中に$\text{ア}$などが$2$度以上現れる場合，$2$度目以降は$\text{ア}$のように網掛けで表記する．

(2)　$x$と$y$が共に整数であるような座標平面上の点$(x,y)$を格子点とよぶ．また，実部と虚部が共に整数であるような複素数を複素整数とよび，$i$は虚数単位を表す．このとき以下が成り立つ．

(a)　座標平面上の楕円の方程式${\displaystyle \frac{x^2}{25}}+{\displaystyle \frac{y^2}{100}}=1$を満たす格子点$(x,y)$のうち$x$と$y$が共に正であるものは$(\text{ヌ},\text{ネ})$と$(\text{ノ},\text{ハ})$$\text{（}\text{ヌ}<\text{ノ}\text{）}$の$2$点であり，この楕円上にある格子点は全部で$\text{ヒ}\text{フ}$個ある．

(b)　(a)の楕円の焦点は$s=\text{ヘ}\sqrt{\text{ホ}}$とおくと$(0,-s)$と$(0,s)$である．$|iz-s|+|iz+s|=20$を満たす複素整数$z$は全部で$\text{マ}\text{ミ}$個あり，その絶対値$\left|z\right|$がとり得る値の最大値は$\text{ム}\text{メ}\text{，}$最小値は$\text{モ}$である．

【１】　次の(1)から(3)において，$$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートにマークせよ．ただし，$$は$2$桁の数を表すものとし，分数は既約分数の形に表すものとする．また，根号を含む解答では，根号の中に現れる自然数は最小になる形で答えなさい．なお，同一の問題文中に$\text{ア}$などが$2$度以上現れる場合，$2$度目以降は$\text{ア}$のように網掛けで表記する．

(3)　$2$以上の自然数$n$に対して，$0$と$1$を$n$個並べたもの，すなわち各$i=1\text{，}\cdots \text{，}$$n$に対して$a_i=0$または$a_i=1$であるような$a_i$を順に$n$個並べて得られる$(a_1,\cdots ,a_n)$を$n$次元バイナリーベクトルとよぶ．$2$つの$n$次元バイナリーベクトル$(a_1,\cdots ,a_n)$と$(b_1,\cdots ,b_n)$に対して，ある$i$に対して$a_i\ne b_i$であり，それ以外の$j$については$a_j=b_j$となるとき，$(a_1,\cdots ,a_n)$と$(b_1,\cdots ,b_n)$は隣接するという．$n$次元バイナリーベクトル全体の集合を$B_n$で表すことにする．例えば，$n=3$のときは

$B_3=\{(0,0,0),(0,0,1),$$(0,1,0),$$(0,1,1),$$(1,0,0),$$(1,0,1),$$(1,1,0),(1,1,1)\}$

であり，$(0,0,0)$と$(1,0,0)$は隣接し，$(0,1,1)$と$(1,0,0)$は隣接しない．$B_n$の中から隣接する$2$つの$n$次元バイナリーベクトルを取り出すとき，取り出し方の組み合わせの総数を$M_n$と記す．このとき，以下が成り立つ．

(a)　$M_2=\text{ヤ}$である．

(b)　$M_3=\text{ユ}\text{ヨ}$である．

(c)　$2$以上のすべての自然数$n$に対して，$M_{n+1}=\text{ラ}{M}_n+{\text{リ}}^n$が成り立つ．

(d)　すべての自然数$n$に対して，$M_{n+1}=(n+\text{ル}){\text{レ}}^n$である．

【２】　実数$a$に対して，$f(x,y)=x^3+y^3-a$とおき，$g(x,y)=x^2+y^2-1$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)　実数$x\text{，}$$y$が$g(x,y)=0$を満たすとき，$x+y$のとり得る値の範囲を求めよ．また，$g(x,y)=0$を満たす正の実数$x\text{，}$$y$に対する$x+y$のとり得る値の範囲も求めよ．

(2)　$t=x+y\text{，}$$u=xy$とするとき，$x^3+y^3$を$t$と$u$の多項式として表わせ．さらに$x\text{，}$$y$が$g(x,y)=0$を満たすとき，$x^3+y^3$を$t$のみの多項式として表わせ．

(3)　$f(x,y)=0$と$g(x,y)=0$を共に満たすような実数$x\text{，}$$y$が存在するような$a$の値の範囲を求めよ．

(4)　$f(x,y)=0$と$g(x,y)=0$を共に満たすような正の実数$x\text{，}$$y$が存在するような$a$の値の範囲を求めよ．

(5)　$f(x,y)=0$と$g(x,y)=0$を共に満たすような正の実数$x\text{，}$$y$がただ$1$組だけ存在するような$a$の値を求めよ．また，そのときの$x\text{，}$$y$の値も求めよ．

【３】　$f(x)=-{\displaystyle \frac{\sin x}{2+\cos x}}\text{，}$と$g(x)={\displaystyle \frac{\cos x}{2+\sin x}}$に対して以下の問いに答えよ．

(1)　不定積分${\displaystyle \int }f(x)\mathit{dx}$と${\displaystyle \int }g(x)\mathit{dx}$を計算せよ．

(2)　すべての実数$x$に対して$f(x)=g(x+s)$が成り立つような，正の実数$s$$\text{（}0<s<2\pi \text{）}$の値を求めよ．

(3)　$0\leqq x\leqq 2\pi$のとき，$f(x)$と$g(x)$のそれぞれについて最大値と最小値，およびそれらを与える$x$の値を求めよ．

(4)　$f(x)=g(x)$を満たす正の実数$x$の中で最小の数を${\alpha }_1\text{，}$$2$番目に小さい数を${\alpha }_2$とする．${\alpha }_1+{\alpha }_2$の値を求めよ．

(5)　座標平面において，$2$曲線$y=f(x)$$\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$と$y=g(x)$$\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$で囲まれた図形の面積を求めよ．