2023　東京理科大学　工学部B方式2月8日実施MathJax

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．与えられた枠数より少ない桁の数があてはまる場合は，上位の桁を$0$として，右に詰めた数値としなさい．分数は既約分数とし，値が整数の場合は分母を$1$としなさい．根号を含む形で解答する場合は，根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい．

(1)　$x>1$に対して

$f(x)={\displaystyle \frac{5x^3+8x^2+15}{x^3-x}}$

とする．

(a)　$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=\text{ア}\text{，}$$f(9)={\displaystyle \frac{\text{イ}\text{ウ}\text{エ}}{\text{オ}\text{カ}}}$である．

(b)　$g(x)=x^2{(x^2-1)}^2{f}^{\prime }(x)$とおくと

$g^{\prime }(x)=-\text{キ}\text{ク}{x}^3-\text{ケ}\text{コ}{x}^2-\text{サ}\text{シ}\text{ス}x$

である．ただし，$f^{\prime }(x)\text{，}$$g^{\prime }(x)$はそれぞれ$f(x)\text{，}$$g(x)$の導関数である．

(c)　$y=f(x)$を満たす自然数の組$(x,y)$はただ$1$つ存在し，それを$(a,b)$としたとき

$f(b)={\displaystyle \frac{\text{セ}\text{ソ}\text{タ}\text{チ}}{\text{ツ}\text{テ}\text{ト}}}$

である．

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．与えられた枠数より少ない桁の数があてはまる場合は，上位の桁を$0$として，右に詰めた数値としなさい．分数は既約分数とし，値が整数の場合は分母を$1$としなさい．根号を含む形で解答する場合は，根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい．

(2)　三角形$\mathrm{ABC}$がある．辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{P}$を$\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=p:(1-p)$となるようにとり，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{Q}$を$\mathrm{AQ}:\mathrm{QC}=q:(1-q)$となるようにとる．ただし，$p$と$q$は$0<p<1$および$0<q<1$を満たす定数とする．さらに，線分$\mathrm{BQ}$と線分$\mathrm{CP}$の交点を$\mathrm{D}$とし，三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$S_1\text{，}$三角形$\mathrm{BCD}$の面積を$S_2$とおく．

(a)　$\mathrm{AB}=2\text{，}$$\mathrm{AC}=3\text{，}$$\mathrm{BC}=\sqrt{6}$のとき$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}={\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}}}$である．

(b)　$p={\displaystyle \frac{1}{6}}\text{，}$$q={\displaystyle \frac{3}{5}}$のとき$\overrightarrow{\mathrm{AD}}={\displaystyle \frac{\text{ウ}}{\text{エ}\text{オ}}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+{\displaystyle \frac{\text{カ}}{\text{キ}}}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$であり，${\displaystyle \frac{S_2}{S_1}}={\displaystyle \frac{\text{ク}\text{ケ}}{\text{コ}\text{サ}}}$である．

　以下，$S_2={\displaystyle \frac{1}{5}}{S}_1$が成り立つ場合を考える．

(c)　$q$を，$p$を用いて表すと$q={\displaystyle \frac{\text{シ}-\text{ス}p}{\text{セ}-\text{ソ}p}}$である．

(d)　線分$\mathrm{BD}$上に点$\mathrm{E}$$\text{（}\mathrm{E}$は$\mathrm{B}$と$\mathrm{D}$のどちらにも一致しない）をとり，線分$\mathrm{AE}$と線分$\mathrm{DP}$の交点を$\mathrm{F}$とする．三角形$\mathrm{ABE}$と三角形$\mathrm{ACF}$の面積がともに${\displaystyle \frac{1}{5}}{S}_1$に等しいとき

$p={\displaystyle \frac{\text{タ}+\sqrt{\text{チ}}}{\text{ツ}}}$または${\displaystyle \frac{\text{テ}-\sqrt{\text{ト}}}{\text{ナ}}}$

である．

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．与えられた枠数より少ない桁の数があてはまる場合は，上位の桁を$0$として，右に詰めた数値としなさい．分数は既約分数とし，値が整数の場合は分母を$1$としなさい．根号を含む形で解答する場合は，根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい．

(3)　座標平面において，円$C\text{：}{x}^2+y^2=1$を考える．点$\mathrm{A}$$(-2,1)$から円$C$に$2$本の接線を引き，その接点を$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$とする．ただし，$\mathrm{P}$の$x$座標を$x_1\text{，}$$\mathrm{Q}$の$x$座標を$x_2$としたとき，$x_1>x_2$とする．直線$\mathrm{PQ}$上の点で$\mathrm{C}$の外部にある点を$\mathrm{R}$とし，$\mathrm{R}$から円$C$に$2$本の接線を引き，その接点を$\mathrm{S}$と$\mathrm{T}$とする．ただし，$\mathrm{S}$の$x$座標を$x_3\text{，}$ $\mathrm{T}$の$x$座標を$x_4$としたとき，$x_3>x_4$とする．

(a)　接線$\mathrm{AP}$の方程式は$y=\text{ア}$であり，接線$\mathrm{AQ}$の方程式は$y=-{\displaystyle \frac{\text{イ}}{\text{ウ}}}x-{\displaystyle \frac{\text{エ}}{\text{オ}}}$である．また，直線$\mathrm{PQ}$の方程式は$y=\text{カ}x+\text{キ}$である．

(b)　点$\mathrm{R}$の$x$座標が$3$のとき，直線$\mathrm{ST}$の方程式は$y=-{\displaystyle \frac{\text{ク}}{\text{ケ}}}x+{\displaystyle \frac{\text{コ}}{\text{サ}}}$である．

(c)　$\mathrm{AT}=\mathrm{TS}$のとき，点$\mathrm{R}$の座標は$(-\text{シ},-\text{ス})$または$({\displaystyle \frac{\text{セ}}{\text{ソ}}},{\displaystyle \frac{\text{タ}}{\text{チ}}})$である．

【２】　以下の問いに答えなさい．ただし，空欄(あ)〜(し)については適切な数または式を解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

　$n$を$2$以上の自然数とする．複素数平面上の異なる$n$個の複素数$z_1\text{，}$$z_2\text{，}\cdots \text{，}$$z_n$が複素数$w$に対して

$z_1=w{z}_2\text{，}$$z_2＝w{z}_3\text{，}\cdots \text{，}$$z_{n-1}=w{z}_n\text{，}$$z_n=w{z}_1$

を満たしている．以下，すべての複素数の偏角は$0$以上$2\pi$未満で考える．

(1)　$n=3$のとき，$w^2+w+1=\text{(あ)}$であり

$\left|{\displaystyle \frac{z_3-z_2}{z_1-z_2}}\right|=\text{(い)}\text{，}$$\arg {\displaystyle \frac{z_3-z_2}{z_1-z_2}}=\text{(う)}$または$\text{(え)}$

である．ただし，$\text{(う)}<\text{(え)}$とする．

(2)　$n=4$のとき

$\left|{\displaystyle \frac{z_3-z_2}{z_1-z_2}}\right|=\text{(お)}\text{，}$$\arg {\displaystyle \frac{z_3-z_2}{z_1-z_2}}=\text{(か)}$または$\text{(き)}$

である．ただし，$\text{(か)}<\text{(き)}$とする．

(3)　$n=6$のとき，$w$のとり得る偏角は$\text{(く)}$および$\text{(け)}$である．$n=12$のとき，$w$のとり得る偏角は$\text{(こ)}$個存在して，大きさが最大のものは$\text{(さ)}$である．$n=24$で$|z_1-z_2|=1$のとき，$z_1\text{，}$$z_2\text{，}\cdots \text{，}$$z_{24}$を頂点とする図形の面積は$\text{(し)}$である．なお，$\text{(こ)}$と$\text{(さ)}$の値を導く過程も所定の場所に書きなさい．

【３】　以下の問いに答えなさい．ただし，空欄(あ)〜(き)については適切な数または式を解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

　$a$と$b$を定数$\text{（}a>0\text{，}$$b<0\text{）}$とする．実数の関数

$f(x)=e^{a+bx}\text{，}$$g(x)=e^{-f(x)}$

に対して，座標平面上の曲線$C\text{：}y=e^{bx}g(x)$を考える．ただし，$e$は自然対数の底を表す．

(1)　$\underset{x\to \infty }{\lim }{e}^{bx}g(x)=\text{(あ)}$である．

(2)　$\underset{x\to -\infty }{\lim }{e}^{bx}g(x)=\text{(い)}$である．ただし，$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x}{e^x}}=0$を用いてよい．

(3)　関数$y=e^{bx}g(x)$は$x=\text{(う)}$のとき，極値$y=\text{(え)}$をとる．また曲線$C$の変曲点の$x$座標は$\text{(お)}$および$\text{(か)}$である．ただし$\text{(お)}<\text{(か)}$とする．

(4)　$t$を正の実数とする．曲線$C$と$x$軸，および$2$直線$x=-t\text{，}$$x=t$で囲まれた部分を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を$V(t)$とすると

$\underset{t\to \infty }{\lim }V(t)=\text{(き)}$

である．なお，$\text{(き)}$を導く過程も解答用紙の所定の場所に書きなさい．