2023　東京理科大学　先進工学部B方式2月4日実施MathJax

【１】　$k$を$k\geqq 4$を満たす実数とし，$x$についての$2$次方程式

$x^2-\sqrt{k-4}x-{\displaystyle \frac{1}{8}}{k}^2+5=0$

を考える．ただし，以下において$i$は虚数単位を表している．

(1)　$k=5$のとき，この$2$次方程式の解は，

$x={\displaystyle \frac{\text{ア}\pm \sqrt{\text{イウ}}i}{\text{エ}}}$

と書ける．

(2)　この$2$次方程式の解が異なる$2$つの純虚数となるときの実数$k$の値は，

$k=\text{オ}$

であり，そのときの解は，

$x=\pm \sqrt{\text{カ}}i$

となる．

(3)　この$2$次方程式が虚数解をもつような実数$k$の値の範囲は，

$\text{キ}\leqq k<\text{ク}$

である．

(4)　実数$k$が(3)で求めた範囲にあるときを考える．この$2$次方程式の異なる$2$つの虚数解を$\alpha \text{，}$$\beta$とおいたとき，

$|\alpha -\beta |=1$

が成り立つような実数$k$の値は，

$k=-\text{ケ}+\sqrt{\text{コサ}}$

である．ここで，$|\alpha -\beta |$は$\alpha -\beta$の絶対値を表している．

【２】　$f(x)=x^3-6x^2+9x+2$とおく．

(1)　$3$次方程式$f(x)=4$の解は，

$x=\text{ア}\text{，}$$x=\text{イ}\pm \sqrt{\text{ウ}}$

である．

(2)　$3$次方程式$f(x)=k$が異なる$2$個の実数解をもつような実数$k$の値は，小さい順に，

$k=\text{エ}\text{，}$$\text{オ}$

である．

　$k=\text{エ}$のとき，異なる実数解は小さい順に$x=\text{カ}\text{，}$$x=\text{キ}$である．

　$k=\text{オ}$のとき，異なる実数解は小さい順に$x=\text{ク}\text{，}$$x=\text{ケ}$である．

（上の記述において$\text{エ}\text{，}$$\text{オ}$は既出の$\text{エ}\text{，}$$\text{オ}$を表している）

(3)　$3$次方程式$f(x)=k$が異なる$3$個の実数解をもつような実数$k$の値の範囲は，

$\text{コ}<k<\text{サ}$

である．

【３】　原点を$\mathrm{O}$とする座標平面において，連立不等式

$\{\begin{array}{l}{(x-2)}^2+{(y-3)}^2\leqq 1\\ x+y\leqq 4\end{array}$

の表す領域を$D$とする．点$\mathrm{P}$$(x,y)$が領域$D$内を動くとき，以下の問いに答えよ．

(1)　原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}$との間の距離を$l$とする．距離$l$が最大となるときの点$\mathrm{P}$の座標は，$(\text{ア},\text{イ})$であり，その最大値は$\sqrt{\text{ウエ}}$である．

　距離$l$が最小となるときの点$\mathrm{P}$の座標は，

$(\text{オ}-{\displaystyle \frac{\text{カ}}{\text{キク}}}\sqrt{\text{ケコ}},\text{サ}-{\displaystyle \frac{\text{シ}}{\text{スセ}}}\sqrt{\text{ソタ}})$

であり，その最小値は$-\text{チ}+\sqrt{\text{ツテ}}$である．

(2)　$2x+y$の値が最大となるときの点$\mathrm{P}$の座標は$(\text{ト},\text{ナ})$であり，その最大値は$\text{ニ}$である．$2x+y$の最小値は$\text{ヌ}-\sqrt{\text{ネ}}$である．

(3)　$x^2+y^2-6x-8y$の値の最大値は$-\text{ノハ}+\text{ヒ}\sqrt{\text{フ}}$であり，最小値は$-{\displaystyle \frac{\text{ヘホ}}{\text{マ}}}$である．

【４】　以下の問いに答えなさい．ただし，空欄(あ)〜(え)については，適切な数または式を解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

　関数$f(x)$を

$f(x)=\log (x^2+e)$

と定め，座標平面上の曲線$y=f(x)$を考える．ただし，$\log$は自然対数である．ここで，$e$は$e=\underset{t\to 0}{\lim }{(1+t)}^{\frac{1}{t}}$によって定まる実数とする．

(1)　関数$f(x)$の導関数は$f^{\prime }(x)=\text{(あ)}$である．

(2)　点$(\sqrt{e},f(\sqrt{e}))$における曲線$y=f(x)$の接線$l$の方程式は，

$\text{(い)}$

となる．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\sqrt{e}}}{\displaystyle \frac{e}{x^2+e}}\mathit{dx}$の値は，

$\text{(う)}$

である．

　なお，(う)の値を導く過程を解答用紙の所定の欄に書きなさい．

(4)　曲線$y=f(x)$と(2)で求めた接線$l$と$y$軸で囲まれた図形を$D$とする．このとき，$D$の面積は$\text{(え)}$である．

【５】　以下の問いに答えなさい．ただし，空欄(あ)〜(か)に当てはまる数または座標を答えなさい．

　座標空間に四面体$\mathrm{ABCD}$があり，$\mathrm{A}$$(-1,2,-2)\text{，}$$\mathrm{B}$$(2,2,1)\text{，}$$\mathrm{C}$$(-1,-4,-2)\text{，}$$\mathrm{D}$$(-1,-1,4)$であるとする．

(1)　線分$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{E}\text{，}$線分$\mathrm{BC}$を$5:2$に外分する点を$\mathrm{F}\text{，}$線分$\mathrm{AC}$と$\mathrm{EF}$の交点を$\mathrm{P}$とする．このとき，点$\mathrm{E}$の座標は$\text{(あ)}\text{，}$点$\mathrm{F}$の座標は$\text{(い)}\text{，}$点$\mathrm{P}$の座標は$\text{(う)}$である．

(2)　$k$を実数として，$3$点$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$の定める平面$\mathrm{BCD}$上に点$\mathrm{Q}$$(3k,3k,-2k)$があるとき，点$\mathrm{Q}$の座標は$\text{(え)}$である．

(3)　(1)，(2)で求めた$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$を通る直線に，点$\mathrm{R}$$(3,3,3)$から垂線$\mathrm{RH}$を下ろす．このとき，$\mathrm{RH}$の長さは$\text{(お)}$であり，三角形$\mathrm{PQR}$の面積は$\text{(か)}$である．

　なお．(お)，(か)を導く過程を，解答用紙の所定の欄に書きなさい．