2023　東京理科大学　薬学部B方式2月7日実施MathJax

【１】　$1$から$15$までの番号が$1$つずつ書かれた同じ大きさの$15$個の球が入った袋がある．この袋の中から球を$1$つ取り出し，球に書かれた番号を調べて球を元に戻す試行を$3$回繰り返す．$k$回目に取り出した球に書かれている番号を$a_k$$\text{（}k=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{）}$とする．また，正の実数$x_1\text{，}$$x_2\text{，}$$x_3$に対し$F(x_1,x_2,x_3)={\displaystyle \frac{1}{x_1}}+{\displaystyle \frac{1}{x_2}}+{\displaystyle \frac{1}{x_3}}$とする．

(1)(a)　$F(a_1,a_2,a_3)=1$かつ$a_1\geqq a_2\geqq a_3$となる確率は${\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}\text{ウ}\text{エ}\text{オ}}}$である．

(b)　$F(a_1,a_2,a_3)=1$を満たす$(a_1,a_2,a_3)$の組は全部で$\text{カ}\text{キ}$通りある．よって，$F(a_1,a_2,a_3)=1$となる確率は${\displaystyle \frac{\text{ク}}{\text{ケ}\text{コ}\text{サ}}}$である．

(2)　$F({\displaystyle \frac{a_1}{2}},{\displaystyle \frac{a_2}{2}},{\displaystyle \frac{a_3}{2}})=1$となる確率は${\displaystyle \frac{\text{シ}\text{ス}}{\text{セ}\text{ソ}\text{タ}\text{チ}}}$である．

(3)　$F({\displaystyle \frac{2a_1}{3}},a_2,2a_3)={\displaystyle \frac{1}{2}}$かつ$a_1\geqq a_2\geqq a_3$となる確率は${\displaystyle \frac{\text{ツ}}{\text{テ}\text{ト}\text{ナ}\text{ニ}}}$である．

【２】(1)　$u=\cos \theta \text{，}$$v=\sin \theta$$\text{（}0\leqq \theta <\pi \text{）}$とする．点$(-1,0)$と$(u,v)$を通る直線を$l$とし，$l$の傾きを$t$とする．

(a)　直線$l$の方程式は$y=t(x+\text{ア})$である．また，$u\text{，}$$v$を$t$を用いて表すと

$u={\displaystyle \frac{\text{イ}-t^2}{\text{ウ}+t^2}}\text{，}$$u={\displaystyle \frac{\text{エ}t}{\text{オ}+t^2}}$

である．

(b)　$t$を$\theta$を用いて表すと

$t=\tan ({\displaystyle \frac{\text{カ}}{\text{キ}}}\theta )$

である．したがって，

${\displaystyle \frac{\mathit{d\theta }}{\mathit{dt}}}={\displaystyle \frac{\text{ク}}{\text{ケ}+t^2}}$

となる．

(2)　$\log$を自然対数とする．このとき，

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\displaystyle \frac{1}{5+4\mathrm{ain}x+3\cos x}}\mathit{dx}={\displaystyle \frac{\text{コ}}{\text{サ}}}$

であり，

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{3}}}{\displaystyle \frac{1}{1+\sin x+\cos x}}\mathit{dx}$$=\log (\text{シ}+{\displaystyle \frac{\text{ス}}{\text{セ}}}\sqrt{\text{ソ}})$

である．また，

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}}{\displaystyle \frac{\sin x}{\sin x+\cos x}}\mathit{dx}={\displaystyle \frac{\text{タ}}{\text{チ}}}\pi -{\displaystyle \frac{\text{ツ}}{\text{テ}}}\log 2\text{，}$

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}}{\displaystyle \frac{\cos x}{\sin x+\cos x}}\mathit{dx}={\displaystyle \frac{\text{ト}}{\text{ナ}}}\pi +{\displaystyle \frac{\text{ニ}}{\text{ヌ}}}\log 2$

である．

【３】　$\overline{\mathrm{OA}}=60\text{，}$$\overline{\mathrm{OB}}=\overline{\mathrm{OC}}=30\text{，}$$\mathrm{\angle AOB}=\mathrm{\angle AOC}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}\text{，}$$\mathrm{\angle BOC}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$である四面体$\mathrm{OABC}$を考える．

(1)　点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{H}$は同一平面上にあるとし，$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}}$とする．ここに，$s\text{，}$$t$は実数である．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OH}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=0$であるとき，

$s={\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}}}\text{，}$$t={\displaystyle \frac{\text{ウ}}{\text{エ}}}\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OH}}\right|=\text{オ}\sqrt{\text{カ}\text{キ}}$

である．

(2)　三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$\text{ク}\text{ケ}\text{コ}\sqrt{\text{サ}}$であり，四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$\text{シ}\text{ス}\text{セ}\text{ソ}\sqrt{\text{タ}}$である．

(3)　四面体$\mathrm{OABC}$に外接する球の半径は$\text{チ}\text{ツ}$である．

【４】　複素数$z$が極形式により

$z=r(\cos {\displaystyle \frac{4}{5}}\pi +i\sin {\displaystyle \frac{4}{5}}\pi )$

と表されるとする．ただし，$r>0\text{，}$$i$は虚数単位である．

(1)　$\sin 5\theta =\text{ア}\text{イ}{\sin }^5\theta$$-\text{ウ}\text{エ}{\sin }^3\theta +\text{オ}\sin \theta$であるから，複素数$z$の虚部の$2$乗の値は，

$({\displaystyle \frac{\text{カ}}{\text{キ}}}-{\displaystyle \frac{\text{ク}}{\text{ケ}}}\sqrt{\text{コ}})r^2$

である．

(2)　$r=2$とし，複素数平面上の点$0\text{，}$$1\text{，}$$z\text{，}$$z^2\text{，}$$z^3$を，それぞれ$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$とする．このとき，三角形$\mathrm{ACD}$の面積を$S_1\text{，}$三角形$\mathrm{OAB}$の面積を$S_2$とすると，$S_1$と$S_2$の比の値${\displaystyle \frac{S_1}{S_2}}$は$\text{サ}\text{シ}-\text{ス}\sqrt{\text{コ}}$である．

(3)　$r=1$とし，複素数平面上に点$1\text{，}$$z\text{，}$$z^2\text{，}$$z^3\text{，}$$z^4$をとる．この$5$点を頂点とする正五角形を$G_1$とし，$G_1$の$1$辺の長さを$l$とすると

$l^2={\displaystyle \frac{\text{セ}}{\text{ソ}}}-{\displaystyle \frac{\text{タ}}{\text{チ}}}\sqrt{\text{コ}}$

であり，$G_1$の面積を$S_3$とすると

$S_3^2={\displaystyle \frac{\text{ツ}\text{テ}\text{ト}}{\text{ナ}\text{ニ}}}+{\displaystyle \frac{\text{ヌ}\text{ネ}}{\text{ノ}\text{ハ}}}\sqrt{\text{コ}}$

である．さらに，複素数平面上の点$0\text{，}$$1\text{，}$$1+z\text{，}$$1+z+z^2\text{，}$$1+z+z^2+z^3$を頂点とする正五角形を$G_2$とすると，$S_3$と$G_2$の面積$S_4$の比の値${\displaystyle \frac{S_3}{S_4}}$は

${\displaystyle \frac{\text{ヒ}}{\text{フ}}}+{\displaystyle \frac{\text{ヘ}}{\text{ホ}}}\sqrt{\text{コ}}$

となる．