2023　東京理科大学　理学部数,応用数学科2月5日実施MathJax

【１】　次の(1)から(6)において，$$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートにマークせよ．ただし$$は$2\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}\text{，}$$$は$3$桁の数を表すものとする．

　$S$を$1$以上$1000$以下の自然数全体の集合とする．$i=1\text{，}$$2\text{，}$$3$に対して，$S$の部分集合$A_i$を次のように定義する．

$A_1=\{x|x\in S\text{かつ}x\text{を}3\text{で割ると余りが}1\}\text{，}$

$A_2=\{x|x\in S\text{かつ}x\text{と}30\text{の最大公約数が}2\}\text{，}$

$A_3=\{x|x\in S\text{かつ}x\text{の各桁の数の和が}7\}$

また，$i=1\text{，}$$2\text{，}$$3$と，$S$の要素$x$に対して，整数$h_i(x)$を，

$x\in A_i$のとき$h_i(x)=1\text{，}$

$x\notin A_i$のとき$h_i(x)=0$

と定める．

(1)　集合$\{x|x\in S\text{かつ}{h}_1(x)=1\}$の要素の個数は$\text{ア}\text{イ}\text{ウ}$である．

(2)　集合$\{x|x\in S\text{かつ}{h}_2(x)=1\}$の要素の個数は$\text{エ}\text{オ}\text{カ}$である．

(3)　集合$\{x|x\in S\text{かつ}{h}_3(x)=1\}$の要素の個数は$\text{キ}\text{ク}$である．

(4)　集合$\{x|x\in S\text{かつ}{h}_1(x)h_2(x)=1\}$の要素を$6$で割ったときの余りは$\text{ケ}$である．

(5)　集合$\{x|x\in S\text{かつ}{h}_1(x)h_2(x)h_3(x)=0\}$の要素の個数は$\text{コ}\text{サ}\text{シ}$である．

(6)　集合$\{x|x\in S\text{かつ}{h}_1(x)+h_2(x)-h_1(x)h_2(x)=1\}$の要素の個数は$\text{ス}\text{セ}\text{ソ}$である．

【２】　座標平面において，

$x^3+y^3=3xy$かつ$x\geqq 0$かつ$y\geqq 0$

を満たす点$(x,y)$の全体で表される図形を$C$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$C$と直線$y=x$の共有点の座標を求めよ．

(2)　$(x_0,y_0)$を$C$上の点とし，$x_0\ne y_0$とする．直線$y=x$に関して点$(x_0,y_0)$と対称な点は$C$上にあることを示せ．

(3)　$t>2^{\frac{2}{3}}$を満たす定数$t$に対して，$f(x)=x^3-3tx+t^3$$\text{（}x\geqq 0\text{）}$とおくとき，すべての$x\geqq 0$に対して$f(x)>0$が成り立つことを示せ．

(4)　$C$は，$4$点$(0,0)\text{，}$$(2^{\frac{2}{3}},0)\text{，}$$(2^{\frac{2}{3}},2^{\frac{2}{3}})\text{，}$$(0,2^{\frac{2}{3}})$を頂点とする正方形およびその内部に含まれることを示せ．

(5)　$t$を$0\leqq t\leqq 2^{\frac{2}{3}}$を満たす定数とする．$C$の，不等式$y\leqq x$の表す領域に含まれる部分と，直線$y=t$の共有点の個数を調べよ．