2023　東京理科大学　グローバル方式2月18日実施MathJax

【１】　$x\text{，}$$y$を$0$以上の整数とする．$x+3y=10$を満たす$x\text{，}$$y$の組$(x,y)$の総数を$a$とし，$x+3y=10$と$xy\geqq 3$を同時に満たす$x\text{，}$$y$の組$(x,y)$の総数を$b$とすると，

${\displaystyle \frac{b}{a}}={\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}}}$

である．$x+3y\leqq 10$を満たす$x\text{，}$$y$の組$(x,y)$の総数を$c$とし，$x+3y\leqq 10$と$xy\geqq 3$を同時に満たす$x\text{，}$$y$の組$(x,y)$の総数を$d$とすると，

${\displaystyle \frac{d}{c}}={\displaystyle \frac{\text{ウ}}{\text{エ}\text{オ}}}$

である．自然数$k$に対して，$x+3y\leqq 3k+1$を満たす$x\text{，}$$y$の組$(x,y)$の総数を$f(k)$とすると，

$f(k)={\displaystyle \frac{\text{カ}}{\text{キ}}}{k}^2+{\displaystyle \frac{\text{ク}}{\text{ケ}}}k+\text{コ}$

である．自然数$k$に対して，$x+3y\leqq 3k+1$と$xy\geqq k$を同時に満たす$x\text{，}$$y$の組$(x,y)$の総数を$g(k)$とする．$k=10$のとき，

${\displaystyle \frac{g(10)}{f(10)}}={\displaystyle \frac{\text{サ}\text{シ}\text{ス}}{\text{セ}\text{ソ}\text{タ}}}$

である．

【２】　平面上に異なる$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{P}$を，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=\sqrt{2}\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|=\sqrt{6}$となるようにとる．直線$\mathrm{OP}$と平行で，点$\mathrm{A}$を通る直線上に，$\mathrm{A}$と異なる点$\mathrm{C}$を$\left|\overrightarrow{\mathrm{CP}}\right|=\sqrt{6}$となるようにとり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と平行で点$\mathrm{C}$を通る直線と，直線$\mathrm{OP}$が交わる点を$\mathrm{B}$とすると，四角形$\mathrm{OACB}$は平行四辺形となる．このとき，

$\cos \mathrm{\angle AOP}={\displaystyle \frac{\sqrt{\text{ア}}}{\text{イ}}}$

$\cos \mathrm{\angle OCB}={\displaystyle \frac{\sqrt{\text{ウ}\text{エ}}}{\text{オ}}}$

である．次に，点$\mathrm{P}$を中心とした半径$\sqrt{6}$の円$Q$と，点$\mathrm{C}$を中心とした半径$\sqrt{2}$の円の$2$つの交点をそれぞれ$\mathrm{D}\text{，}$${\mathrm{D}}^{\prime }$とする．ただし，円$Q$の円周上に点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$${\mathrm{D}}^{\prime }$がこの順に並んでいるとし，線分$\mathrm{BD}$と線分$\mathrm{OC}$の交点を$\mathrm{M}$とする．このとき，

$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|={\displaystyle \frac{\text{カ}}{\text{キ}}}\sqrt{\text{ク}}$

$\overrightarrow{\mathrm{BM}}={\displaystyle \frac{\text{ケ}}{\text{コ}}}\overrightarrow{\mathrm{BO}}+{\displaystyle \frac{\text{サ}}{\text{シ}}}\overrightarrow{\mathrm{BC}}$

である．

【３】　座標平面上に$2$点$\mathrm{A}$$(1,1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(3,2)$をとる．$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$からの距離の比が$5:3$となる点${\mathrm{P}}_1$の軌跡は，中心の座標が

$({\displaystyle \frac{\text{ア}\text{イ}}{\text{ウ}}},{\displaystyle \frac{\text{エ}\text{オ}}{\text{カ}\text{キ}}})$

で，半径が

${\displaystyle \frac{\text{ク}\text{ケ}}{\text{コ}\text{サ}}}\sqrt{\text{シ}}$

の円である．その円を$F$とする．点$\mathrm{Q}$が円$F$の円周上を動くとき，線分$\mathrm{AQ}$を$5:3$に内分する点${\mathrm{P}}_2$$(x,y)$の軌跡の方程式は，

${(x-{\displaystyle \frac{\text{ス}\text{セ}\text{ソ}}{\text{タ}\text{チ}}})}^2$$+{(y-{\displaystyle \frac{\text{ッ}\text{テ}\text{ト}}{\text{ナ}\text{ニ}\text{ヌ}}})}^2$$={({\displaystyle \frac{\text{ネ}\text{ノ}}{\text{ハ}\text{ヒ}\text{フ}}}\sqrt{\text{ヘ}})}^2$

である．

【４】

$a_1=1\text{，}$$a_{n+1}=a_n+3$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定まる数列を$\{a_n\}\text{，}$

$b_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定まる数列を$\{b_n\}$とする．さらに，すべての自然数$n$に対して，数列$\{a_n\}$の第$b_n$項と数列$\{b_n\}$の第$a_n$項の和を$c_n$とすると，数列$\{c_n\}$が得られる．例えば，

$a_2=4\text{，}$$b_2=5\text{，}$$c_2=a_5+b_4=35$

である．

(1)

$a_3=\text{ア}\text{，}$$b_3=\text{イ}\text{ウ}$

であり，

$c_3=a_{\text{イ}\text{ウ}}+b_{\text{ア}}=\text{エ}\text{オ}\text{カ}$

である．

(2)　$b_n\geqq 1000$を満たす最小の自然数$n$は，$n=\text{キ}\text{ク}$である．

(3)

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{b}_k={\displaystyle \frac{\text{ケ}}{\text{コ}}}{n}^{\text{サ}}(n+\text{シ})$

である．

(4)　数列$\{c_n\}$の一般項は，

$c_n=\text{ス}\text{セ}{n}^{\text{ソ}}-\text{タ}\text{チ}n+\text{ツ}$

である．

(5)　$c_n$が$13$で割り切れるための$n$についての必要十分条件は，$n$を$13$で割ったときの余りが，$\text{テ}$または$\text{ト}$のときである．ただし，$\text{テ}<\text{ト}$である．

【５】　座標平面上の曲線$C$の方程式を

$y=|x^3-3x^2|$

とする．曲線$C$上の点$(1,2)$における接線を$l$とすると，$l$の方程式は

$y=\text{ア}x-\text{イ}$

であり，曲線$C$と$l$で囲まれた部分の面積を$S$とすると

$S=-\text{ウ}+\text{エ}\sqrt{\text{オ}}$

である．

　$b$を実数とし，直線$m$の方程式を

$y=-x+b$

とする．直線$m$が曲線$C$と異なる$4$つの共有点をもつとき，$b$の値の範囲は

$\text{カ}<b<{\displaystyle \frac{\text{キ}\text{ク}+\text{ケ}\text{コ}\sqrt{\text{サ}}}{\text{シ}}}$

である．

【６】　複素数平面上で方程式$\left|z\right|=2\sqrt{2}$を満たす点$z$全体からなる図形を$F$とする．$F$上に$4$点$\mathrm{A}(\alpha )\text{，}$$\mathrm{B}(\beta )\text{，}$$\mathrm{C}(\gamma )\text{，}$$\mathrm{D}(2\sqrt{2})$があり，$\mathrm{▵ABC}$が正三角形となるとき，次の問に答えよ．ただし，$\alpha$の偏角${\theta }_{\alpha }$は$0<{\theta }_{\alpha }<{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$を満たすとし，$\beta$の虚部は正であるとする．また$i$は虚数単位である．

(1)　$\beta$を${\theta }_{\alpha }$を用いて表すと，

$\beta =(-\sqrt{\text{ア}}\cos {\theta }_{\alpha }-\sqrt{\text{イ}}\sin {\theta }_{\alpha })$$+(\sqrt{\text{ウ}}\cos {\theta }_{\alpha }-\sqrt{\text{エ}}\sin {\theta }_{\alpha })i$

である．

(2)　$\mathrm{\angle BCD}={\displaystyle \frac{\text{オ}}{\text{カ}}}\mathrm{\angle BOD}$であることに注意して，

${\sin }^2\mathrm{\angle BCD}={\displaystyle \frac{\text{キ}}{\text{ク}}}+{\displaystyle \frac{\text{ケ}}{\text{コ}}}\cos {\theta }_{\alpha }$$+{\displaystyle \frac{\text{サ}}{\text{シ}}}\sqrt{\text{ス}}\sin {\theta }_{\alpha }$

である．

(3)　$\cos {\theta }_{\alpha }={\displaystyle \frac{2}{3}}$のとき，点$\mathrm{B}$と直線$\mathrm{CD}$の距離を$d$とすると，

$d^2=\text{セ}\text{ソ}+\text{タ}\sqrt{\text{チ}\text{ツ}}$

である．