2023　東京理科大学　理学部第二部3月4日実施MathJax

【１】　次の$$内のアからケにあてはまる$0$から$9$までの整数を求めて，解答用マークシートの指定された行にあるその数をマークしなさい．ただし，$$は$2$桁の数を表すものとし，分数は既約分数として表すものとする．また，根号を含む形で解答する場合は，根号の中に現れる自然数が最小になる形で答えなさい．

　数列$\{a_n\}$を$a_n={\displaystyle \frac{n}{8}}\tan \left({\displaystyle \frac{2\pi }{n+2}}\right)$で定める．

(1)　$\tan {\displaystyle \frac{\pi }{3}}=\sqrt{\text{ア}}\text{，}$$\tan {\displaystyle \frac{\pi }{4}}=\text{イ}$である．

(2)　$a_{22}={\displaystyle \frac{\text{ウ}\text{エ}}{\text{オ}}}(\text{カ}-\sqrt{\text{キ}})$である．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n={\displaystyle \frac{\text{ク}}{\text{ケ}}}\pi$である．

【２】　次の$$内のコからタにあてはまる$0$から$9$までの整数を求めて，解答用マークシートの指定された行にあるその数をマークしなさい．ただし，根号を含む形で解答する場合は，根号の中に現れる自然数が最小になる形で答えなさい．

　連立不等式${(x-2)}^2+y^2\leqq 1\text{，}$$x\geqq 2$の表す領域を$P\text{，}$連立不等式${(x+2)}^2+y^2\leqq 1\text{，}$$x\leqq -2$の表す領域を$Q\text{，}$連立不等式$x\geqq -2\text{，}$$x\leqq 2\text{，}$$y\geqq -1\text{，}$$y\leqq 1$の表す領域を$R$とする．また，$3$つの領域$P\text{，}$$Q\text{，}$$R$の和集合$P\cup Q\cup R$を$U$とする．

(1)　領域$U$の面積は$\pi +\text{コ}$である．

(2)　直線$y=-x+2$が領域$U$の境界線によって切り取られてできる線分の長さは$\text{サ}+\sqrt{\text{シ}}$である．

(3)　直線$y=-x+k$と領域$U$の境界線が異なる$2$点で交わるような定数$k$の値の範囲は

$-\text{ス}-\sqrt{\text{セ}}<k<\text{ソ}+\sqrt{\text{タ}}$

である．

【３】　次の$$内のチからラにあてはまる$0$から$9$までの整数を求めて，解答用マークシートの指定された行にあるその数をマークしなさい．ただし，$$は$2$桁の数を表すものとし，分数は既約分数として表すものとする．また，$\text{ア}$などが$2$度現れる場合は，$2$度目は$\text{ア}$などのように網掛けで表記する．

　次の条件によって定められる数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$がある．

$a_1=20\text{，}$$b_1=10\text{，}$

$a_{n+1}={\displaystyle \frac{9}{8}}{a}_n+{\displaystyle \frac{1}{2}}{b}_n\text{，}$$b_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{4}}{a}_n+{\displaystyle \frac{11}{8}}{b}_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　$a_2={\displaystyle \frac{\text{チ}\text{ツ}}{\text{テ}}}\text{，}$$b_2={\displaystyle \frac{\text{ト}\text{ナ}}{\text{ニ}}}$である．

(2)　$c_n=a_n-b_n$とおくと，$c_1=\text{ヌ}\text{ネ}\text{，}$$c_{n+1}={\displaystyle \frac{\text{ノ}}{\text{ハ}}}{c}_n$である．よって，数列$\{c_n\}$は初項$\text{ヌ}\text{ネ}\text{，}$公比${\displaystyle \frac{\text{ノ}}{\text{ハ}}}$の等比数列である．

(3)　$d_n=a_n+2b_n$とおくと，$d_1=\text{ヒ}\text{フ}\text{，}$$d_{n+1}={\displaystyle \frac{\text{ヘ}\text{ホ}}{\text{マ}}}{d}_n$である．よって，数列$\{d_n\}$は初項$\text{ヒ}\text{フ}\text{，}$公比${\displaystyle \frac{\text{ヘ}\text{ホ}}{\text{マ}}}$の等比数列である．

(4)　数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$の一般項はそれぞれ

$a_n={\displaystyle \frac{1}{3}}\{\text{ミ}\text{ム}{\left({\displaystyle \frac{\text{ヘ}\text{ホ}}{\text{マ}}}\right)}^{n-1}$$+\text{メ}\text{モ}{\left({\displaystyle \frac{\text{ノ}}{\text{ハ}}}\right)}^{n-1}\}\text{，}$

$b_n={\displaystyle \frac{1}{3}}\{\text{ヤ}\text{ユ}{\left({\displaystyle \frac{\text{ヘ}\text{ホ}}{\text{マ}}}\right)}^{n-1}$$-\text{ヨ}\text{ラ}{\left({\displaystyle \frac{\text{ノ}}{\text{ハ}}}\right)}^{n-1}\}$

で与えられる．

【４】　次の$$内のリからン，あからえにあてはまる$0$から$9$までの整数を求めて，解答用マークシートの指定された行にあるその数をマークしなさい．ただし，$\text{，}$$$はそれぞれ$2$桁，$3$桁の数を表すものとし，分数は既約分数として表すものとする．

　$m\geqq 2$とし，$m$人がそれぞれ$1$枚の硬貨を以下のルールに従って最大$10$回まで投げるとする．$m$人のそれぞれは，表が出たときはもう$1$回投げ，裏が出たときはそこで投げるのを止めるとする．ただし，$10$回目を投げ終えた場合は出た硬貨の表裏に関わらずそこで投げるのを止めるとする．$m$人すべての投げた回数の総和を$N_m$とおく．

(1)　$N_2=2$となる確率は${\displaystyle \frac{\text{リ}}{\text{ル}}}$である．

(2)　$N_2=3$となる確率は${\displaystyle \frac{\text{レ}}{\text{ロ}}}$である．

(3)　$N_2\geqq 4$となる確率は${\displaystyle \frac{\text{ワ}}{\text{ヲ}}}$である．

(4)　$N_5\geqq 8$となる確率は${\displaystyle \frac{\text{ン}\text{あ}}{\text{い}\text{う}\text{え}}}$である．

【５】　次の$$内のおからせにあてはまる$0$から$9$までの整数を求めて，解答用マークシートの指定された行にあるその数をマークしなさい．ただし，$\text{，}$$$はそれぞれ$2$桁，$3$桁の数を表すものとし，分数は既約分数として表すものとする．また，根号を含む形で解答する場合は，根号の中に現れる自然数が最小になる形で答えなさい．

　半径$1$の円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$がある．以下の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{AB}:\mathrm{CD}=\mathrm{BC}:\mathrm{CD}=3:1$かつ$\mathrm{DA}:\mathrm{CD}=2:1$のとき，$\cos \mathrm{\angle A}={\displaystyle \frac{\text{お}}{\text{か}}}$であり，$\mathrm{CD}={\displaystyle \frac{1}{\text{き}\text{く}}}\sqrt{\text{け}\text{こ}\text{さ}}$である．

(2)　$\mathrm{AB}:\mathrm{CD}=\mathrm{BC}:\mathrm{DA}=2:1$かつ$\mathrm{DA}=1$のとき，$\mathrm{CD}={\displaystyle \frac{1}{\text{し}}}\sqrt{\text{す}\text{せ}}$である．

【６】　次の$$内のそからのにあてはまる$0$から$9$までの整数を求めて，解答用マークシートの指定された行にあるその数をマークしなさい．ただし，$$は$2$桁の数を表すものとし，分数は既約分数として表すものとする．

　$t$を$t>0$を満たす実数とし，関数$f(x)$を$f(x)=x^3+(t-2)x^2$$-2t(t+1)x+4t^2$で定める．

(1)　$f(t)=\text{そ}\text{，}$$f(2)=\text{た}$である．

(2)　曲線$y=f(x)$上の点$(2,f(2))$における接線を$l_t$とする．接線$l_t$と$y$軸の交点を$(0,b(t))$とするとき，$b(t)$は$t={\displaystyle \frac{\text{ち}}{\text{つ}}}$のとき最小値$-\text{て}$をとる．また，$t$が${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}}\leqq t\leqq 3$の範囲で動くとき，$b(t)$は$t=\text{と}$のとき最大値$\text{な}\text{に}$をとる．

(3)　$t>2$のとき，曲線$y=f(x)$および$x$軸で囲まれた領域と，連立不等式$x\geqq 2\text{，}$$x\leqq t$の表す領域の共通部分の面積を$S(t)$とすると，

$\underset{t\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S(t)}{t^4}}={\displaystyle \frac{\text{ぬ}}{\text{ね}\text{の}}}$

である．