2023　東京理科大学　理学部第二部数学科3月4日実施MathJax

【１】　次の$$内のアからタにあてはまる$0$から$9$までの整数を求めて解答用マークシートの指定された行にあるその数をマークしなさい．ただし，$\text{，}$$\text{，}$$\text{，}$$$はそれぞれ$2$桁，$3$桁，$4$桁，$5$桁の数を表すものとする．

　$p\text{，}$$q$を異なる素数とする．また，$A$を$p^3{q}^4$の正の約数全体の集合とし，$B$を$p^2{q}^2$の正の約数全体の集合とする．

(1)　$p^3$の正の約数は$\text{ア}$個あり，$q^4$の正の約数は$\text{イ}$個ある．よって，$A$の要素は$\text{ウ}\text{エ}$個ある．

(2)　$B$の部分集合は全部で$\text{オ}\text{カ}\text{キ}$個ある．

(3)　$A$の部分集合で$B$との共通部分が空集合であるものは全部で$\text{ク}\text{ケ}\text{コ}\text{サ}$個ある．

(4)　$A$の部分集合で$B$との共通部分が$2$個の要素からなる集合であるものは全部で$\text{シ}\text{ス}\text{セ}\text{ソ}\text{タ}$個ある．

【２】　次の$$内のチからリにあてはまる$0$から$9$までの整数を求めて，解答用マークシートの指定された行にあるその数をマークしなさい．ただし，$$は$2$桁の数を表すものとし，分数は既約分数として表すものとする．また，$\text{ア}$などが$2$度現れる場合は，$2$度目は$\text{ア}$などのように網掛けで表記する．

　座標平面上で不等式$|2x-3|+|2y-3|\leqq 2$の表す領域を$A$とする．

(1)　連立不等式$2x-3\geqq 0\text{，}$$2y-3\geqq 0$の表す領域を$B$とする．$A$と$B$の共通部分は$3$点

$({\displaystyle \frac{\text{チ}}{\text{ツ}}},{\displaystyle \frac{\text{テ}}{\text{ト}}})\text{，}$$({\displaystyle \frac{\text{ナ}}{\text{ニ}}},{\displaystyle \frac{\text{ヌ}}{\text{ネ}}})\text{，}$$({\displaystyle \frac{\text{ノ}}{\text{ハ}}},{\displaystyle \frac{\text{ヒ}}{\text{フ}}})$

を頂点とする三角形の周および内部である．ただし，${\displaystyle \frac{\text{チ}}{\text{ツ}}}<{\displaystyle \frac{\text{ナ}}{\text{ニ}}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\text{テ}}{\text{ト}}}<{\displaystyle \frac{\text{ヒ}}{\text{フ}}}$とする．

(2)　$3x+2y=k$とおく．点$(x,y)$が領域$A$内を動くとき，$k$の最大値は${\displaystyle \frac{\text{ヘ}\text{ホ}}{\text{マ}}}$であり，最小値は${\displaystyle \frac{\text{ミ}}{\text{ム}}}$である．

(3)　点$(x,y)$が領域$A$内を動くとき，${\displaystyle \frac{y-2}{x+1}}$の最大値は${\displaystyle \frac{\text{メ}}{\text{モ}}}$であり，最小値は$-{\displaystyle \frac{\text{ヤ}}{\text{ユ}}}$である．

(4)　点$(x,y)$が領域$A$内を動くとき，$x^2+y^2-x-2y$の最大値は$\text{ヨ}$であり，最小値は$-{\displaystyle \frac{\text{ラ}}{\text{リ}}}$である．

【３】　$a$を$0<a<1$を満たす実数とし，$f(x)=(1-a)x^2(x-a)$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$の増減を調べよ．また，そのグラフの概形をかけ．

(2)　曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S(a)$を求めよ．

(3)　曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分を$x$軸のまわりに一回転してできる回転体の体積$V(a)$を求めよ．

(4)　$a$が$0<a<1$の範囲を動くとき，${\displaystyle \frac{V(a)}{S(a)}}$の最大値を求めよ．

【４】　平面上の$\mathrm{▵OAB}$について$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=1\text{，}$$\mathrm{\angle AOB}=\theta$とする．ただし$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$である．また，辺$\mathrm{AB}$を$(1-\cos \theta ):\cos \theta$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$点$\mathrm{B}$から辺$\mathrm{OA}$に垂線を下ろしたとき，その垂線と辺$\mathrm{OA}$との交点を$\mathrm{Q}\text{，}$線分$\mathrm{OP}$と線分$\mathrm{BQ}$の交点を$\mathrm{R}$とする．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき以下の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\theta$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{QP}}$が平行であることを示せ．

(3)　$\mathrm{▵OQB}$の面積を$S(\theta )$とする．$\theta$が$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲を動くとき，$S(\theta )$の最大値を求めよ．

(4)　線分$\mathrm{OP}$の長さを$L(\theta )$とする．$\theta$が$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲を動くとき，$L(\theta )$が最小となる$\theta$を${\theta }_0$とする．$\cos {\theta }_0$を求めよ．

(5)　$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=k\overrightarrow{\mathrm{OP}}$とするとき，実数$k$を求めよ．