2023　東京理科大学　推薦経営,理(応用数学,物理)学部MathJax

【１】　原点を$\mathrm{O}$とする平面上に鋭角三角形$\mathrm{ABC}$があり，$\mathrm{BC}=a\text{，}$$\mathrm{CA}=b\text{，}$$\mathrm{AB}=c\text{，}$$\mathrm{\angle A}=A\text{，}$$\mathrm{\angle B}=B\text{，}$$\mathrm{\angle C}=C$とする．$\mathrm{▵ABC}$の内部の点$\mathrm{P}$に関して，$3$つの三角形の面積比が$\mathrm{▵PBC}:\mathrm{▵PCA}:\mathrm{▵PAB}=\alpha :\beta :\gamma$のとき，次の等式が成り立つ．

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}={\displaystyle \frac{\alpha \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\gamma \overrightarrow{\mathrm{OC}}}{\alpha +\beta +\gamma }}$(1)

(ⅰ)　$\mathrm{▵ABC}$の内心を$\mathrm{I}$としたとき，(1)を用いて次の等式が成り立つことを証明しなさい．

$\overrightarrow{\mathrm{OI}}={\displaystyle \frac{a\overrightarrow{\mathrm{OA}}+b\overrightarrow{\mathrm{OB}}+c\overrightarrow{\mathrm{OC}}}{a+b+c}}$

(ⅱ)　$\mathrm{▵ABC}$の外心を$\mathrm{J}$としたとき，(1)を用いて次の等式が成り立つことを証明しなさい．

$\overrightarrow{\mathrm{OJ}}={\displaystyle \frac{(a\cos A)\overrightarrow{\mathrm{OA}}+(b\cos B)\overrightarrow{\mathrm{OB}}+(c\cos C)\overrightarrow{\mathrm{OC}}}{a\cos A+b\cos B+c\cos C}}$

(ⅲ)　等式(1)が成り立つことを証明しなさい．