2023　早稲田大学　理工系学部MathJax

【１】　$n$を自然数として，整式${(3x+2)}^n$を$x^2+x+1$で割った余りを$a_{n}x+b_n$とおく．以下の問に答えよ．

(1)　$a_{n+1}$と$b_{n+1}$を，それぞれ$a_n$と$b_n$を用いて表せ．

(2)　全ての$n$に対して，$a_n$と$b_n$は$7$で割り切れないことを示せ．

(3)　$a_n$と$b_n$を$a_{n+1}$と$b_{n+1}$で表し，全ての$n$に対して，$2$つの整数$a_n$と$b_n$は互いに素であることを示せ．

【２】　赤玉と黒玉が入っている袋の中から無作為に玉を$1$つ取り出し，取り出した玉を袋に戻した上で，取り出した玉と同じ色の玉をもう$1$つ袋に入れる操作を繰り返す．以下の問に答えよ．

(1)　初めに袋の中に赤玉が$1$個，黒玉が$1$個入っているとする．$n$回の操作を行ったとき，赤玉をちょうど$k$回取り出す確率を$P_n(k)$$\text{（}k=0\text{，}$$1\text{，}$$\cdots \text{，}$$n\text{）}$とする．$P_1(k)$と$P_2(k)$を求め，さらに$P_n(k)$を求めよ．

(2)　初めに袋の中に赤玉が$r$個，黒玉が$b$個$\text{（}r\geqq 1\text{，}$$b\geqq 1\text{）}$入っているとする．$n$回の操作を行ったとき，$k$回目に赤玉が，それ以外ではすべて黒玉が取り出される確率を$Q_n(k)$$\text{（}k=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$n\text{）}$とする．$Q_n(k)$は$k$によらないことを示せ．

【３】　実数$x$に対して関数$f(x)$を$f(x)=e^{x-2}$で定め，正の実数$x$に対して関数$g(x)$を$g(x)=\log x+2$で定める．また$y=f(x)\text{，}$$y=g(x)$のグラフをそれぞれ$C_1\text{，}$$C_2$とする．以下の問に答えよ．

(1)　$f(x)$と$g(x)$がそれぞれ互いの逆関数であることを示せ．

(2)　直線$y=x$と$C_1$が$2$点で交わることを示せ．ただし，必要なら$2<e<3$を証明しないで用いてよい．

(3)　直線$y=x$と$C_1$との$2$つの交点の$x$座標を$\alpha \text{，}$$\beta$とする．ただし$\alpha <\beta$とする．直線$y=x$と$C_1\text{，}$$C_2$をすべて同じ$xy$平面上に図示せよ．

(4)　$C_1$と$C_2$で囲まれる図形の面積を(3)の$\alpha$と$\beta$の多項式で表せ．

【４】　複素数平面上に$2$点$\mathrm{A}(1)\text{，}$$\mathrm{B}(\sqrt{3}i)$がある．ただし，$i$は虚数単位である．複素数$z$に対し$w={\displaystyle \frac{3}{z}}$で表される点$w$を考える．以下の問に答えよ．

(1)　$z=1\text{，}$${\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}i}{2}}\text{，}$$\sqrt{3}i$のときの$w$をそれぞれ計算せよ．

(2)　実数$t$に対し$z=(1-t)+t\sqrt{3}i$とする．$\alpha ={\displaystyle \frac{3-\sqrt{3}i}{2}}$について，$\alpha z$の実部を求め，さらに$(w-\alpha )\overline{(w-\alpha )}$を求めよ．

(3)　$w$と原点を結んでできる線分$L$を考える．$z$が線分$\mathrm{AB}$上を動くとき，線分$L$が通過する範囲を図示し，その面積を求めよ．

【５】　$xyz$空間において，$3$点$\mathrm{A}$$(2,1,2)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,3,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,-3,0)$を頂点とする三角形$\mathrm{ABC}$を考える．以下の問に答えよ．

(1)　$\mathrm{\angle BAC}$を求めよ．

(2)　$0\leqq h\leqq 2$に対し，線分$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{AC}$と平面$x=h$との交点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(3)　$0\leqq h\leqq 2$に対し，点$(h,0,0)$と線分$\mathrm{PQ}$の距離を$h$で表せ．ただし，点と線分の距離とは，点と線分上の点の距離の最小値である．

(4)　三角形$\mathrm{ABC}$を$x$軸のまわりに$1$回転させ，そのときに三角形が通過する点全体からなる立体の体積を求めよ．