2023　早稲田大学　人間科学部MathJax

【１】(1)　$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$\cdots \text{，}$$13$の$12$個の整数の中から異なる$2$個を無作為に取り出したとき，それら$2$個の整数が互いに素となる確率は${\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}}}$である．

【１】(2)　$x^2+x+1=0$のとき，$x^{20}+x=\text{ウ}$である．

【１】(3)　$5^{n+5}>{11}^n$を満たす自然数$n$は$\text{エ}$個ある．ただし，${\log }_{5}11=1.49$とする．

【２】　不等式

${\log }_4(16-x^2-y^2)\geqq {\displaystyle \frac{3}{2}}+2{\log }_{16}(2-x)$

を満たす点$\mathrm{P}$$(x,y)$の中で，$x$座標と$y$座標がともに整数であるものは$\text{オ}$個ある．このうち，$x$座標が最小となる点は$(\text{カ},\text{キ})$である．

【３】　座標空間における$2$点$\mathrm{A}$$(2,-3,-1)$と$\mathrm{B}$$(3,0,1)$を通る直線を$l_1$とし，$l_1$に関して点$\mathrm{C}$$(1,5,-2)$と対称な点を$\mathrm{D}$とすると，$\mathrm{D}$の座標は$(\text{ク},\text{ケ},\text{コ})$である．また，点$\mathrm{D}$を通り$l_1$と平行な直線を$l_2$とし，点$\mathrm{P}$が直線$l_2$上を，点$\mathrm{Q}$が$xy$平面上の直線$y=-x+4$上をそれぞれ自由に動くとき，${\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|}^2$の最小値は$\text{サ}$である．

【４】　関数$y=e^x\sin x$は$x=a$$\text{（}0<a<\pi \text{）}$において極値をとる．このとき，$a={\displaystyle \frac{\text{シ}}{\text{ス}}}\pi$である．また，曲線$y=e^x\sin x$$\text{（}0\leqq x\leqq a\text{）}$と直線$x=a$および$x$軸によって囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$は，

$p={\displaystyle \frac{\text{セ}}{\text{ソ}}}$として，$V={\displaystyle \frac{\text{タ}{e}^{p\pi }+\text{チ}}{\text{ツ}}}\pi$

である．

【５】　座標空間に点$\mathrm{C}$$(0,1,1)$を中心とする半径$1$の球面$S$がある．点$\mathrm{P}$$(0,0,3)$から$S$に引いた接線と$xy$平面との交点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{PC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=t\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|$と表すとき，$t=\text{テ}$である．点$\mathrm{Q}$は楕円上にあり，この楕円を

${\displaystyle \frac{{(x+b)}^2}{a}}+{\displaystyle \frac{{(y+d)}^2}{c}}=1$

とするとき，

$a=\text{ト}\text{，}$$b=\text{ナ}\text{，}$$c=\text{ニ}\text{，}$$d=\text{ヌ}$

である．

　また，点$\mathrm{P}$に点光源があるとき，球面$S$で光が当たる部分を点$\mathrm{R}$が動く．ただし，球面$S$は光を通さない．このとき，線分$\mathrm{PR}$が通過してできる図形の体積は，

$2\pi \cdot {\displaystyle \frac{\text{ネ}+\text{ノ}\sqrt{\text{ハ}}}{\text{ヒ}}}$

である．

【４】　$a$を$1$以上の定数とする．点$\mathrm{P}$$(x,y)$は曲線$y=|x^2-5x+4|$上を動く点で，その$x$座標は$1\leqq x\leqq a$を満たすものとする．このとき，${\displaystyle \frac{y}{x}}$の最大値が，定数$a$の値によらないような$a$の値の範囲は，

$\text{シ}\leqq a\leqq \text{ス}+\sqrt{\text{セ}}$

である．この範囲の$a$の値における${\displaystyle \frac{y}{x}}$の最大値は$\text{ソ}$である．

【５】　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，

$S_n={(-1)}^n{a}_n-{\displaystyle \frac{1}{2^n}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で表されるとする．$n$が偶数であるとき，

$a_n={\displaystyle \frac{\text{タ}}{{\text{チ}}^n}}$

である．また，$S_1+S_2+\cdots +S_{50}$の値は，

${\displaystyle \frac{\text{ツ}}{\text{テ}\cdot {\text{ト}}^{50}}}+{\displaystyle \frac{\text{ナ}}{\text{ニ}}}$

である．ただし，$\text{チ}\text{，}$$\text{テ}\text{，}$$\text{ト}\text{，}$$\text{ニ}$はできるだけ小さな自然数とする．