2023　早稲田大学　教育学部MathJax

【１】　次の各問の解答を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(1)　$0<b<100$を満たす実数$b$に対し，点$(10,b)$から放物線$C\text{：}y=x^2$に相異なる$2$本の接線を引き，この$2$本の接線の$C$における接点をそれぞれ${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2$とする．実数$b$が$0<b<100$の範囲で動くとき，$3$角形$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$の面積の最大値を求めよ．ただし，$\mathrm{O}$は原点を表す．

【１】　次の各問の解答を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(2)　袋の中に赤玉$5$個と白玉$5$個が入っている．次の規則に従って袋から玉を無作為に取り出す．

ステップ1．袋から玉を$3$個取り出す．

ステップ2．ステップ1で取り出した玉の中に含まれている赤玉の数と同じ数の玉を袋から取り出す．

このとき，$2$回取り出した玉の中で，赤玉が合計$3$個となる事象の確率を求めよ．ただし，ステップ1の後，取り出された玉を袋に戻さない．

【１】　次の各問の解答を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(3)　$x_0=0\text{，}$$y_0=-1$のとき，非負整数$n\geqq 0$に対して，

$x_{n+1}=(\cos {\displaystyle \frac{3\pi }{11}})x_n-(\sin {\displaystyle \frac{3\pi }{11}})y_n$

$y_{n+1}=(\sin {\displaystyle \frac{3\pi }{11}})x_n+(\cos {\displaystyle \frac{3\pi }{11}})y_n$

で定義される数列において，$x_n$が最小値をとる最初の$n$を求めよ．

【１】　次の各問の解答を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(4)　辺の長さが$3\text{，}$$4\text{，}$$5$の$3$角形がある．それぞれの辺の中点上に$3$つの点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$があり，ある時刻から同時に動き出し，$3$点とも反時計回りに速さ$1$で$3$角形の周上を回る（ある辺から頂点に到達したらその頂点を含む別の辺へと進む）とする．$3$角形$\mathrm{ABC}$の面積が最大になるときの面積を求めよ．

【２】　$3$角形$\mathrm{ABC}$に対して，点$\mathrm{P}$を$3$角形$\mathrm{ABC}$の内部の点とする．また，直線$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}$上の点で，点$\mathrm{P}$に最も近い点をそれぞれ$\mathrm{X}\text{，}$$\mathrm{Y}\text{，}$$\mathrm{Z}$とする．線分$\mathrm{PA}\text{，}$$\mathrm{PB}\text{，}$$\mathrm{PC}$の長さをそれぞれ$a\text{，}$$b\text{，}$$c$とし，その和を$s$とする．線分$\mathrm{PX}\text{，}$$\mathrm{PY}\text{，}$$\mathrm{PZ}$の長さをそれぞれ$x\text{，}$ $y\text{，}$$z$とし，その和を$t$とする．$\mathrm{\angle APB}=2\gamma$とし，その$2$等分線と直線$\mathrm{AB}$の交点を${\mathrm{X}}^{\prime }$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$3$角形$\mathrm{ABC}$は正$3$角形であり，点$\mathrm{P}$は$\mathrm{\angle A}$の$2$等分線上にあるときの${\displaystyle \frac{s}{t}}$の最小値を求めよ．

(2)　線分$\mathrm{P}{\mathrm{X}}^{\prime }$の長さを$a\text{，}$$b\text{，}$$\cos \gamma$を用いて表せ．

(3)　$3$角形$\mathrm{ABC}$と点$\mathrm{P}$（ただし，点$\mathrm{P}$は$3$角形$\mathrm{ABC}$の内部の点）を任意に動かすときの${\displaystyle \frac{s}{t}}$の最小値を求めよ．$\mathrm{\angle BPC}=2\alpha \text{，}$$\mathrm{\angle CPA}=2\beta$としたとき，以下の不等式が成立することを利用してもよい．

$(a+b+c)$$-2(\sqrt{ab}\cos \gamma +\sqrt{bc}\cos \alpha +\sqrt{ca}\cos \beta )\geqq 0$

【３】　実数$a\text{，}$$b>0$に対し，$a\leqq b$の場合は$a\leqq x\leqq b$の範囲，$a>b$の場合は$b\leqq x\leqq a$の範囲における$y=\log x$のグラフを$C_{a,b}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　点$(2,-1)$と$C_{2,b}$上の点との距離の最小値を$b$を用いて表せ．

(2)　直線$x=a$と直線$x=b$の間で，$C_{a,b}$と$x$軸によって囲まれる部分を$x$軸のまわりに$1$回転して得られる立体の体積を$S_{a,b}$とする．$S_{1,b}$を$b$を用いて表せ．

(3)　$S_{a,b}$を(2)で定義したものとする．$S_{a,a+1}$が最小値をとる$a$の値を求めよ．

【４】　座標平面上の点$(0,1)$を中心として半径$1$の円を$C$とする．点$\mathrm{P}$$(x,y)$が$y\geqq 0$の範囲にあり，$\mathrm{P}$から$C$までの最短距離は$ay$であるとする．ただし，$a$は$0<a<1$を満たす定数である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$が円$C$の円周上または外部にあるとき，$\mathrm{P}$$(x,y)$が満たす方程式を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$が円$C$の円周上または内部にあるとき，$\mathrm{P}$$(x,y)$が満たす方程式を求めよ．

(3)　$x={\displaystyle \frac{1}{2}}$かつ$0\leqq y\leqq 2$を満たす点$\mathrm{P}$$(x,y)$がちょうど$3$個存在するような定数$a$の範囲を求めよ．